Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Остаточный член общей интерполяционной формулы

В предыдущем параграфе мы нашли остаточный член формулы Лагранжа. Найдем теперь остаточный член общей интерполяционной формулы. На функции наложим те же ограничения, что и в конце § 1, т. е. будем предполагать, что они дифференцируемы до порядка на и все вронскианы отличны от нуля на

Рассмотрим функцию двух переменных

Как функция она является линейной комбинацией функций следовательно,

где

С другой стороны, очевидно,

Функция

при любых действительных постоянных удовлетворяет уравнению

В самом деле,

Первый член справа, очевидно, равен нулю. Для того чтобы найти значение второго члена, заметим, что

Отсюда

и, вообще,

для всех Для получим;

Таким образом,

Этим наше утверждение доказано.

Заметим, что если мы вместо функций взяли бы любую другую систему линейно независимых решений уравнения

то получили бы ту же самую функцию Действительно, если функции образуют такую систему, то

и определитель

отличен от нуля. При этом

а

При умножении последних выражений получим то же самое, что и раньше.

В частности, функции введенные в § 1, являются линейными комбинациями функций Они линейно независимы. В самом деле, если бы существовала линейная зависимость

при некотором отлично от нуля, то, полагая в этом тождестве мы получили бы вопреки предположению. Здесь мы использовали свойства функций что

где символ Кронекера, равный 1 при и равный при Таким образом, функцию можно записать в виде

Но

Итак,

Функция

удовлетворяет уравнению принимает в точках значения В частности, функция

удовлетворяет условиям

Функция не может обращаться в нуль ни в какой другой точке так как мы получнлн бы тогда противоречие с обобщенной теоремой Ролля.

Рассмотрим разность

обращается в нуль в точках То же самое можно сказать и про функцию

где - произвольное постоянное число. Пусть нам требуется оценить для некоторой точки Подберем так, чтобы последнее выражение обратилось в нуль и в точке х. Это возможно, так как Тогда

на основании обобщенной теоремы Ролля должно обратиться в нуль по-крайней мере в одной точке Таким образом,

Отсюда

Это равенство, очевидно, сохранит свою силу и для того случая, когда Итак, при любом

Это и есть остаточный чем общей интерполяционной формулы.

Получим еще одну форму остаточного члена. Любая раз дифференцируемая функция на удовлетворяет уравнению

Следовательно,

Но и поэтому

Подставляя в полученное выражение вместо а, будем иметь:

Полусумма последних двух выражений дает нам:

где

Через здесь, как и обычно, обозначена функция, принимающая значение при положительных при отрицательных z.

Полученное ранее выражение для остаточного члена имело более простой Но оно было получено при нспользованнн обобщенной теоремы Ролля, для справедливости которой нужно предполагать, что все отличны от нуля на Последнее выражение будет верно в том случае, если могут быть использованы для целей интерполирования при заданных узлах

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление