Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Выбор узлов интерполирования.

Как мы видели, отклонение от определяется величиной Если о первой величине мы можем иногда сказать, в каких пределах она заключена, то вторую мы можем в некоторых случаях менять по нашему желанию, изменяя точки х. Поставим следующую задачу: как нужно выбрать узлы для того, чтобы была наименьшей. Для ответа на этот вопрос нам придется использовать многочлены Чебышева.

Многочлен Чебышева определяется так:

При

При

Далее, из тождества

полагяя получим:

Таким образом, действительно являются многочленами, причем коэффициент при старшей степени х равен Из рекуррентной формулы последовательно находим:

как многочлен степени имеет ровно корней. Из следует

Давая значения получим различных корней, причем все они оказываются заключенными между Заметим также, что на отрезке равен 1

и достигается в точках Если в качестве отрезка интерполирования взять и в качестве узлов интерполирования — корни многочлена Чебышева то Покажем, что какой бы многочлен степени со старшим коэффициентом 1 мы ни взяли, Действительно, если бы это было не так, то разность представляла бы собой многочлен степени принимающий в точках попеременно то положительные, то отрицательные значения. Следовательно, он должен иметь по крайней мере корней, что невозможно.

Таким образом, если ограничиться рассмотрением отрезка то будет иметь наименьшее возможное значение при условии, что в качестве узлов интерполирования взяты корни многочлена Чебышева, и в этом случае, наша оценка примет вид

Если интерполирование производится на произвольном отрезке то линейной заменой переменного

его можно перевести в При этом корни многочлена перейдут в

Оценка для этого случая будет такова:

Полученные нами результаты дают наилучшую оценку в целом по всему отрезку Мы воспользовались тем свойством многочленов что для них имеет меньшее значение среди всех многочленов степени с коэффициентом при старшей степени, равным единице. Благодаря этому свойству многочлены получили название многочленов, наименее

отклоняющихся от нуля. Можно поставить и другую задачу: при фиксированных узлах интерполирования изучить, для каких промежутков изменения остаточный член будет принимать большие значения и для каких меньшие. Для решения этой задачи нам нужно изучить поведение функции при фиксированных Многочлен обращается в нуль в точках меняет знак, переходя через каждое из этих значений, и где-то в промежутках между ними принимает попеременно то максимальное, то минимальное значение (рис. 19).

Рис. 19.

Абсолютные значения этих экстремумов будут равны друг другу только в том случае, если являются корнями многочлена

В остальных случаях они будут различны. При интерполировании вблизи больших по абсолютной величине экстремумов можно ожидать большей погрешности, там же, где эти экстремумы будут принимать меньшие значения, следует ожидать меньшей погрешности. Исследование общего случая при произвольном распределении узлов интерполяции довольно затруднительно. Поэтому мы ограничимся случаем равноотстоящих узлов, т. е. будем предполагать, что

Опять введем при помощи соотношения Тогда

и нам следует изучить поведение функции

при различных значениях Прежде всего заметим, что эта функция будет четной или нечетной относительно точки в зависимости от четности Действительно, если произвести замену то получим:

Правая часть этого равенства будет четной функцией если нечетно, и будет нечетной функцией если четно. Далее, заметим, что

Таким образом, если разбить отрезок на части [0, 1], [1, 2], то значение функции в отрезке будет получаться из соответствующего значения функции в предыдущем отрезке путем умножения его на Последний множитель всегда отрицателен при изменении от до Поэтому знаки значений функции будут чередоваться при переходе от одного интервала к следующему. Абсолютная величина этого множителя будет меньше 1 на отрезке Таким образом, экстремальные значения будут убывать по абсолютной величине до середины отрезка и затем в силу симметрии снова возрастать.

Рис. 20.

Вне пределов отрезка функция быстро возрастает по абсолютной величине. Итак, графики функции будут следующих двух типов (рис. 20). Какие же выводы можно сделать о точности интерполирования из приведенного нами анализа? Во-первых, оценка остаточного члена формулы Лагранжа будет особенно велика для значений х, лежащих вне отрезка Поэтому следует

ожидать, что если мы производим вычисления по интерполяционной формуле для значений х, лежащих вне отрезка или, как принято говорить, производим экстраполирование, то погрешности будут очень велики. Во-вторых, при интерполировании для значений х, лежащих не близко к узлам интерполирования, точность будет больше для средних отрезков и меньше для крайних.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление