Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Обработка результатов по методу наименьших квадратов.

Произведя несколько измерений некоторой физической величины х, мы получим несколько, вообще говоря, различных результатов:

Каждый из этих результатов содержит какую-то случайную ошибку По этим данным мы не можем найти точное значение измеряемой величины. Поэтому возникает задача: по найти величину х, которую бы с наибольшим основанием можно было принять за приближенное значение х. В такой постановке задача еще очень неопределенна и решение ее может идти по самым различным направлениям. Мы коснемся здесь лишь одного подхода, основанного на минимизации среднеквадратичной погрешности.

Будем предполагать, что произведенные нами измерения были независимы. Это означает, что соответствующая каждому измерению совокупность возможных результатов измерения и вероятностей их появления не зависят от результатов других измерений. Величину х будем искать в виде

где некоторые постоянные, которые нам предстоит подобрать. Наряду с (1) будем рассматривать величины

где пробегает совокупность возможных результатов измерения при измерении. Они будут играть роль возможных результатов измерения. Каждой из величин припишем вероятность появления, равную где через обозначена вероятность появления при измерении. Такое определение вероятности появления есть следствие нашего предположения о независимости измерений.

Постоянные будем выбирать так, чтобы были выполнены следующие два условия:

1. Случайная величина не должна иметь систематической ошибки, т. е. ее математическое ожидание должно равняться х.

2. Случайная величина должна иметь наибольший возможный вес.

Как мы увидим, эти два условия определяют постоянные однозначно.

Прежде всего потребуем выполнения первого условия. Мы должны иметь:

так как

Отсюда

Будем теперь удовлетворять второму условию. Каждой разности

будет соответствовать вероятность появления

Таким образом,

Но

так как

Далее,

где среднеквадратичная погрешность и — вес измерения. Следовательно,

Таким образом, чтобы удовлетворить второму требованию, мы должны подобрать так, чтобы выполнялось условие (3) и обращалось в минимум выражение

Это — задача на условный экстремум. Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, будем разыскивать безусловный экстремум функции

где а — некоторая постоянная. Приравнивая нулю частные производные по получим:

Отсюда

и

Таким образом,

Вес этого результата будет равен

Итак, постоянные найдены. Выражение (5) можно получить, если отыскивать значение дающее минимум функции

Поэтому и говорят, что х находится по методом наименьших квадратов.

Чтобы вычислить среднеквадратичную погрешность величины х, нам нужно еще найти К. Для этого образуем случайную величину

и вычислим

Заметим, что внутреннее суммирование идет по индексу Используем следующие очевидные равенства:

Сначала преобразуем внутреннюю сумму. Ради краткости записи, мы опускаем индексы Будем иметь:

Следовательно,

Но

и

Таким образом,

Отсюда можно найти если мы знаем все возможные результаты измерения и вероятности их появления. Практически это обычно бывает неизвестно. Тогда в качестве приближенного значения для К берут

При этом

Если веса измерений будут одинаковы, как, например, при измерениях одним инструментом в примерно одинаковых условиях, то последняя формула примет вид

В качестве х в данном случае нужно взять

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление