Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Среднеквадратичные погрешности.

Измерение физической величины обычно можно произвести различными способами и инструментами. При этом, вообще говоря, разным способам измерения будут соответствовать разные совокупности возможных результатов измерений или же одинаковые совокупности, но с различными вероятностями появления отдельных результатов. В связи с этим очень важно уметь давать количественную характеристику качества измерения. Для этого введем в рассмотрение величину

Корень квадратный из этой величины носит название среднеквадратичной погрешности измерения. Каждому измерению будем приписывать вес равный

где - величина, постоянная для всех способов измерения х. Чем больше вес, тем измерение считается лучше. В таком подходе к оценке качества измерения есть большая степень произвола. Но это и неизбежно в тех случаях, когда нам приходится вводить какие-то характеристики физических явлений.

До сих пор говорилось о вероятности появления отдельного значения случайной величины. В дальнейшем мы будем говорить также о вероятности принадлежности случайной величины к тому или иному множеству. Следует пояснить, что под этим будет пониматься. Условимся обозначать случайную величину одной буквой Символом будем обозначать вероятность того что случайная величина принадлежит множеству При этом, если

то по определению

Нам будут полезны следующие две леммы:

Лемма 1. Если случайная величина принимает только неотрицательные значения, часть которых менее некоторой положительной величины а, то

Здеоь через обозначено математическое ожидание случайной величины

Положим для определенности, что не превышают превышают а. Математическое ожидание случайной величины разобьем на две части:

Так как все то

Отсюда

и так как то утверждение доказано.

Лемма 2. Если а некоторое положительное кисло, то

Для доказательтва рассмотрим случайную величину На основании предыдущей леммы будем иметь:

что и требовалось доказать.

Из последней леммы следует, что чем меньше среднеквадратичная погрешность, тем меньше рассеяние значений случайной величины около ее математического ожидания.

Пусть теперь в последнем неравенстве Тогда получаем:

В частности, при будем иметь:

Это означает, что примерно в 90% случаев мы будем получать значения случайной величины, отличающиеся от математического ожидания не более чем на утроенную среднеквадратичную погрешность.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление