Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Понятие о статистических методах оценки погрешностей

Пользуясь результатами предыдущих параграфов, мы можем получить оценку максимально возможных погрешностей. Однако на практике они далеко не всегда достигаются. Приведем следующий пример. Было произведено 440 опытов. В каждом опыте складывались 20 логарифмов, взятых с пятью десятичными знаками. Затем были найдены абсолютные погрешности каждого суммирования путем сложения тех же логарифмов с семью десятичными знаками. При этом оказалось, что эти погрешности распределены следующим образом:

Если оценивать результаты на основании предыдущих результатов, то мы могли бы сказать лишь, что предельная абсолютная погрешность не превышает 1000 единиц седьмого знака. Для того чтобы было легче понять, в чем здесь дело, представим себе следующую условную картину. Складываются два числа, предельная абсолютная погрешность каждого из которых равна 5 каких-то единиц. Допустим, что абсолютная погрешность каждого из слагаемых может принимать только одно из следующих значений:

Предположим, кроме того, что появление каждого из этих значений одинаково вероятно, т. е. ни одно из них не имеет преимуществ перед другими. Предельная абсолютная погрешность суммы двух таких чисел будет равна 10, а абсолютная погрешность ее может принимать одно из следующих значений:

Абсолютная погрешность суммы, равная 0, получится, когда погрешность первого слагаемого принимает одно из написанных выше значений, а погрешность второго — равное по абсолютной величине, но противоположное по знаку значение. Всего таких комбинаций будет 11. Абсолютная погрешность суммы примет значение 1, когда погрешности первого и второго слагаемых примут следующие значения: —4 и 5; —3 и 4; —2 и 3; ...; 5 и —4. Всего таких

комбинаций 10. Произведя такие подсчеты для всех возможных случаев, получим следующую картину:

Для отрицательных погрешностей картина будет симметрична. Мы видим, что число комбинаций, когда погрешность близка к максимальной, очень незначительно. Это будет еще более заметно при сложении трех и большего числа слагаемых. При этом непосредственный подсчет числа комбинаций будет затруднительным, и мы произведем его обходным путем.

Будем решать следующую задачу: рассматривается сумма

причем каждое слагаемое может независимо от других принимать все целочисленные значения от до Сколько возможно различных комбинаций значений при которых сумма принимает данное значение Две комбинации значений считаются различными, если они отличаются хотя бы одним значением х. Рассмотрим одночлены

где - какие-то параметры и независимо друг от друга пробегают все целочисленные значения от до Сумма всех таких одночленов может быть записана в виде

Положим в обеих частях равенства Это даст

Коэффициент и будет равен числу искомых комбинаций, так как он равен числу различных комбинаций при которых

Общее число всех возможных вообще комбинаций получится, если мы положим т. е. оно равно

При больших значениях тип это очень большое число. Поэтому удобно разыскивать не сами а отношение

Выражение можно записать в виде

Таким образом, нам нужно подсчитывать коэффициенты произведения многочлена и бесконечного ряда. Так как и здесь будет наблюдаться симметрия, то фактически придется искать коэффициенты выражения

Пусть, например, складываются три слагаемых, погрешности которых могут принимать с одинаковой вероятностью любое целочисленное значение от —5 до Предыдущее разложение в данном случае примет вид

Таким образом, мы получаем таблицу:

(см. скан)

Погрешности, которым соответствует большое число комбинаций, будут чаще наблюдаться на практике.

При больших значениях даже последний способ подсчета числа комбинаций очень громоздок. Поэтому приходится прибегать к различным приближенным формулам. Рассмотрим здесь одну из них. Прежде всего заметим, что коэффициет при ряда по степеням сходящегося на границе единичного круга, может быть определен по формуле

ибо

а

Поэтому величина о которой говорилось выше, будет равна

Можно показать, что при больших значениях последний интеграл будет приближенно равен

Вычисление последнего интеграла приводит к формуле

Отсюда отношение числа комбинаций, для которых погрешности заключены в пределах к числу всевозможных комбинаций будет приближенно равно

Обозначим

Тогда последнюю сумму можно рассматривать как интегральную для

Для последнего интеграла составлены таблицы, которыми и можно воспользоваться в практических расчетах.

Применим наши выводы к примеру, приведенному в начале параграфа, — сложению 20 логарифмов. При этом получим:

Сравнение этой таблицы с таблицей, приведенной на стр. 59, показывает, что наши выводы близки к практическим результатам. Таким образом, видна необходимость наряду с оценкой предельных погрешностей находить возможности достижения отдельных погрешностей. Такой подход к оценкам погрешностей называют статистическим или вероятностным. Мы провели в этом параграфе вероятностную оценку погрешности для суммы слагаемых. В более сложных случаях такая оценка потребует широкого привлечения теории вероятностей, а мы здесь не предполагаем

знакомства с этим разделом математики. Следует подчеркнуть еще, что хороший анализ погрешностей особенно важен для наиболее употребительных стандартных программ для электронных машин.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление