Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют ортогональные многочлены.

Будем теперь предполагать, что вес удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

причем обращается в нуль на концах отрезка Мы наложили сильное ограничение на вес, но веса с таким свойством как раз и порождают наиболее важные ортогональные многочлены.

Пусть произвольный многочлен степени Рассмотрим интеграл

Производя два раза интегрирование по частям и пользуясь тем, что получим:

Воспользовавшись тем, что найдем:

Выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части, является многочленом степени не выше Поэтому

Подынтегральное выражение исходного интеграла (28) можно преобразовать так:

Обозначим выражение, стоящее в квадратных скобках справа, через Это многочлен степени не выше . В силу того, что мы получим:

для любого многочлена степени не выше Следовательно, принадлежит ортогональной системе многочленов с весом Как мы видели ранее, многочлены одинаковых степеней двух ортогональных систем при одном и том же весе могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем. Таким образом,

Отсюда

Итак, мы показали, что при наших предположениях о весе многочлены ортогональной системы удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению, написанному выше. На этом мы ограничимся в рассмотрении общих свойств ортогональных многочленов и перейдем к изучению некоторых частных случаев.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление