Главная > Математика > Методы вычислений, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. Ортогональные системы многочленов.

Метод ортогонализации, изложенный в § 2, позволяет построить ортогональную в систему многочленов

в точности многочлен степени) последовательно возрастающих степеней, т. е. многочленов, для которых имеют место соотношения

Покажем, что с точностью до постоянных множителей эта система единственна. В самом деле, пусть

-две ортогональные в системы многочленов последовательно возрастающих степеней. Докажем, что

Сначала покажем, что многочлены различных степеней и разных систем ортогональны, т. е.

Не ограничивая общности, можно считать, что Многочлен можно единственным образом представить в виде

Отсюда, учитывая (13),

так как Докажем, что в представлении через многочлены все коэффициенты а при равны нулю. Для этого рассмотрим интеграл

где С одной стороны, по доказанному, этот интеграл равен нулю, а с другой стороны,

Так как интеграл в правой части отличен от нуля, то Итак, при всех т. е.

и требовалось доказать.

Если ввести еще какие-либо дополнительные условия на ортогональные многочлены, например потребовав, чтобы коэффициент при старшей степени всегда равнялся единице или чтобы коэффициент при старшей степени был положителен, а норма многочлена равнялась единице, то система ортогональных многочленов на данном отрезке при заданном весе будет единственна в полном смысле этого слова.

Вполне естественно, что с изменением веса а также отрезка мы будем получать разные системы ортогональных многочленов.

Когда ортогональная система многочленов

будет построена, то многочлен наилучшего приближения запишется в виде

где коэффициенты (на основании общей теории) запишутся в виде

Величина наилучшего приближения определится по формуле

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление