Макеты страниц § 6.2. ФИЛЬТРЫ КАЛМАНАОбщие замечания. Фильтры Винера обеспечивают минимум средней квадратичной ошибки системы лишь при бесконечном времени наблюдения, т. е. в установившемся режиме, и при условии стационарности случайных процессов, соответствующих задающему воздействию и помехе. Иногда требуется минимизировать ошибку системы радиоавтоматики при любом конечном времени наблюдения, т. е. с учетом переходных процессов, а также при нестационарных случайных воздействиях на входе системы. В этом случае эффективным методом оптимального синтеза является метод, разработанный Калманом и Бьюси [2], сводящий задачу нахождения оптимальной оценки Системы, оптимизируемые указанным методом, носят название фильтров Калмана. Уравнения состояния.В основе теории оптимальной фильтрации Калмана лежит понятие пространства состояний (см. гл. 1). Поэтому метод Калмана называют также методом пространства состояний. В отличие от метода Винера случайное задающее воздействие Пусть спектральная плотность задающего воздействия имеет вид
Произведя факторизацию спектральной плотности (6.36), найдем передаточную функцию Пусть
Здесь коэффициенты Обозначим через
откуда найдем стохастическое дифференциальное уравнение для случайного задающего воздействия со спектральной плотностью (6.36):
Запишем теперь (6.38) в форме уравнения состояния. Обозначим
тогда
Используем векторно-матричные обозначения для совокупностей переменных и коэффициентов:
матрица-столбец размера
матрица-столбец размера
квадратная матрица размера Тогда уравнение (6.38) запишем в виде одного матричного уравнения первого порядка [см. гл. 1, вывод уравнения (1.30)]:
которое и является уравнением состояния для Чтобы из совокупности
где Уравнения (6.44) и (6.45) являются исходными соотношениями для оптимального синтеза методом пространства состояний. Заметим, что (6.38) является дифференциальным уравнением формирующего фильтра, возбуждаемого белым шумом соответствующая (6.38), которая может быть использована для получения случайного процесса с заданной спектральной плотностью при моделировании систем радиоавтоматики, работающих в условиях случайных воздействий.
|
Оглавление
|