Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Закритические упругие состояния выпуклой оболочки при нагружении внешним давлением

Опыт показывает, что выпуклая оболочка, закрепленная по краю, при нагружении внешним давлением теряет устойчивость, когда давление достигает некоторого критического значения. Рассмотрим упругие состояния оболочки, возникающие в результате потери устойчивости. Согласно вариационному принципу А, определение этих состояний сводится к решению задачи на экстремум для функционала на изометрических преобразовавниях

исходной формы оболочки. Будем предполагать выпучивания выпуклой и относительно малой. В этом случае изометрическое преобразование является зеркальным выпучиванием и энергия деформации оболочки определяется по формуле

где высота выпучивания в центре области, и главные кривизны срединной поверхности, толщина оболочки, модуль упругости, а постоянная Определим производимую внешним давлением работу А. Она равна произведению давления на изменение (при деформации) объема, ограничиваемого оболочкой, т. е.

Найдем Приняв центр выпучивания за начало координат, а касательную плоскость в за плоскость при соответствующем направлении осей х, у можем задать поверхность оболочки вблизи уравнением

Если обозначить через площадь области, определяемой неравенством

то интересующий нас объем

Площадь как площадь эллипса с полуосями

равна следовательно,

Отсюда после интегрирования по получаем объем

Производимая внешним давлением работа равна

Теперь из условия стационарности функционала в состоянии упругого равновесия оболочки находим зависимость воспринимаемого оболочкой давления от прогиба в центре выпучивания. Имеем

откуда

Из этой формулы видно, что воспринимаемое оболочкой давление уменьшается при увеличении деформации А это указывает на неустойчивость закритических деформаций под внешним давлением. Заключение о неустойчивости найденных упругих состояний соответствует экспериментальным данным о характере закритических деформаций под внешним давлением. Согласно этим данным, закритические деформации после потери устойчивости оболочки развиваются без увеличения нагрузки и даже при ее уменьшении.

В случае сферической оболочки зависимость между давлением и прогибом оболочки —

Наименьшая воспринимаемая оболочкой нагрузка при закритической деформации называется нижней критической в отличие от верхней критической нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости. Рассмотрим вопрос о величине нижней критической нагрузки для строго выпуклых оболочек, находящихся под внешним давлением. Ввиду того, что воспринимаемая оболочкой нагрузка уменьшается при увеличении деформации, нижняя критическая нагрузка соответствует наибольшей геометрически допустимой деформации. Если эту деформацию обозначить то нижняя критическая нагрузка будет определяться по формуле

В частности, для сферической оболочки в форме сегмента с радиусом кривизны и высотой

К сожалению, формула для энергии деформации выведена в предположении, что граница выпучивания находится вдали от края оболочки. Для деформаций, при которых граница выпучивания приближается к краю оболочки, коэффициент с в формуле для энергии деформации зависит от расстояния до края. Если учесть эту зависимость, как это сделано в книге [1], то для сферической оболочки в форме сегмента получается уточненная формула:

Если сферический сегмент характеризовать радиусом кривизны и радиусом основания то формула принимает вид

Нижняя критическая нагрузка для пологих сферических сегментов была подвергнута экспериментальному исследованию. Соответствующий эксперимент состоял в следующем.

Внутрь массивного цилиндрического сосуда 1 (рис. 10), закрытого сверху испытуемой сферической оболочкой 2, с помощью микрометрического винта подавался поршень 3. При этом в жидкости, заполняющей сосуд, нарастало давление, которое регистрировалось определенным устройством. Достигнув критического значения, давление начинало уменьшаться и снижалось до некоторого минимума, после чего снова увеличивалось. Максимальное давление отвечает моменту потери устойчивости оболочки и является верхним критическим давлением. А минимум давления соответствует нижней критической нагрузке, как мы ее определили.

Отметим некоторые особенности конструкции экспериментальной установки и работы на ней. Прежде всего мы стремились избежать резкого «хлопка», которым обычно

Рис. 10

сопровождается потеря устойчивости оболочки в экспериментах такого рода. В связи с этим все упругие элементы конструкции были сделаны «максимально жесткими». Именно поэтому в качестве среды, заполняющей сосуд и сообщающей давление на оболочку, была взята жидкость, а сам сосуд выполнен достаточно массивным, с толстыми стенками. Давление регистрировалось при помощи весьма чувствительного тензометрического датчика 4, укрепленного на поверхности сосуда. В результате всех указанных мер давление после «хлопка» не снижалось до минимума и достигало этого минимума только при дальнейшем продвижении поршня внутрь сосуда. Это важно для оболочек с ограниченной упругостью, которые после энергичного «хлопка» могут показать даже отрицательное нижнее критическое давление.

Испытуемый сегмент был зажат между двумя стальными кольцами, из которых нижнее опиралось на резиновую прокладку 5, а верхнее прижималось фланцем. Условия защемления сегмента по краю, близкие к идеальным, обеспечивались притиркой колец по соответствующим сферическим поверхностям и равномерностью давления колец благодаря эластичности про кладки 5.

Рис. 11

Четыре тензометрических датчика 4, расположенные на боковой поверхности сосуда,— два по окружности, а два другие в осевом направлении — были соединены обычным способом в мости ковую схему, которая подключалась к источнику питания и гальванометру. Показания гальванометра предварительно тарировались.

Испытанию подвергались медные сферические сегменты, полученные напылением в вакууме. Радиус кривизны сегментов а толщина изменялась в пределах от 0,03 до Внутренний диаметр колец зажимающих испытуемые сегменты, равнялся

На рис. 11 штриховой линией изображена зависимость нижнего критического давления даваемого формулой

от толщины оболочки Жирной линией изображена

Зависимость по уточненной формуле

Отдельные точки, отмеченные крестиками, дают значения нижнего критического давления, полученные в эксперименте.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление