Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Энергия деформации выпуклой оболочки при зеркальном выпучивании

Применение принципа А при изучении закритических упругих состояний оболочки предполагает определение ряда величин изометрического преобразования срединной поверхности. Имея в виду ближайшие приложения, мы определим такие величины в случае зеркального выпучивания малых областей.

Как известно, форма регулярной строго выпуклой поверхности в достаточно малой окрестности данной точки хорошо приближается некоторым эллиптическим параболоидом, который называется соприкасающимся. Если принять касательную плоскость в точке за плоскость а главные направления поверхности в этой точке — за направления координатных осей, то уравнение соприкасающегося параболоида будет иметь вид

где главные кривизны поверхности в точке Отсюда следует, что область зеркального выпучивания оболочки с центром выпучивания при малой высоте выпучивания (прогиб в точке задается неравенством

и, следовательно, представляет собой эллипс с полуосями

В связи с определением энергии упругой деформации при выпучивании нам понадобятся выражения для кривизны кривой, ограничивающей область выпучивания, и для нормальной кривизны поверхности. Найдем выражения для этих величин.

Граница выпучивания, как эллипс с полуосями допускает параметрическое задание

Пользуясь формулой для кривизны кривой, находим

радиус кривизны.

Определим нормальную кривизну поверхности в направлении границы выпучивания. Ввиду того, что область выпучивания мала, можно считать, что главные кривизны на границе выпучивания близки к главным кривизнам в (центре выпучивания), а главные направления близки к главным направлениям в

По формуле Эйлера нормальная кривизна в направлении, которое образует угол с главным направлением, отвечающим кривизне равна

В рассматриваемом случае

Поэтому нормальная кривизна поверхности в направлении границы выпучивания равна

или, замечая, что

получим

Нормальная кривизна в направлении, перпендикулярном границе выпучивания, равна

или, принимая во внимание выражения для получим

Определим угол а между плоскостью кривой у, ограничивающей область выпучивания, и касательными плоскостями поверхности. По формуле Менье

Для малых областей выпучивания и, следовательно, малых а имеем

Подставляя сюда найденные значения получим

Вычислим теперь энергию деформации оболочки. Она у нас состоит из двух частей: где энергия изгиба по основной поверхности, а —энергия деформации в окрестности границы у области выпучивания. Величина определяется по формуле

Здесь и -главные изменения нормальных кривизн при переходе от исходной формы к изометрическому преобразованию,

— жесткость оболочки на изгиб, а интегрирование выполняется по площади всей поверхности. В рассматриваемом случае зеркального выпучивания величины вне области выпучивания равны нулю, а внутри этой области где главные кривизны. Ввиду предположения о малости области выпучивания можно считать равными их значениям в центре выпучивания . С учетом величины площади области

выпучивания получим

Здесь -высота выпучивания (нормальный прогиб в центре выпучивания), и — главные кривизны в -толщина оболочки, -модуль упругости, коэффициент Пуассона.

Вычислим теперь энергию деформации на —границе выпучивания. Для нее была получена формула

Здесь -угол между плоскостью кривой у и касательными плоскостями деформированной поверхности, -нормальная кривизна исходной поверхности в направлении, перпендикулярном границе выпучивания, -нормальная кривизна в направлении границы, — нормальные кривизны изометрически преобразованной поверхности соответственно со стороны внутренней и внешней полуокрестности границы выпучивания.

В случае зеркального выпучивания Таким образом, второе слагаемое в формуле для можно записать в виде Принимая во внимание полученные выше значения для нормальной кривизны угла а и замечая, что будем иметь

Таким образом, второе слагаемое в выражении для равно

Оно отличается от выражения только знаком. Определим максимальные напряжения а в материале оболочки при выпучивании. Такие напряжения возникают от изгиба на границе выпучивания и определяются по

формуле

Подставляя сюда значения получим

Существенно заметить, что эти напряжения постоянны вдоль границы выпучивания.

Итак, при зеркальном выпучивании малой области строго выпуклой оболочки энергия деформации определяется по формуле

Максимальные, возникающие от изгиба на границе выпучивания напряжения равны

В качестве иллюстрации применения вариационного принципа А рассмотрим упругую деформацию произвольной выпуклой оболочки под действием сосредоточенной силы.

Пусть строго выпуклая оболочка, жестко закрепленная по краю, находится под действием сосредоточенной силы нормальной к поверхности оболочки в точке приложения. Если эта сила вызывает значительную деформацию, то определение упругого состояния оболочки сводится к задаче на экстремум функционала который определен и рассматривается на изометрических преобразованиях исходной формы оболочки. Мы будем предполагать, что выпучивание оболочки, вызванное действием силы охватывает выпуклую область. В этом случае, как показано в п. 2, класс изометрических преобразований, на которых надо рассматривать нашу вариационную задачу, сужается до зеркального выпучивания.

В случае зеркального выпучивания для функционала получено следующее выражение:

Предполагая, что точка приложения силы является центром выпучивания, будем иметь для функционала А, представляющего собой работу, производимую силой при деформации оболочки, формулу

Из условия стационарности функционала получаем зависимость между действующей силой

и деформацией которую она вызывает. Имеем

Отсюда

Из этой формулы видно, что при увеличении деформации воспринимаемая оболочкой нагрузка растет. Это указывает на устойчивость состояний равновесия оболочки под действием сосредоточенной нагрузки.

К выводу об устойчивости состояний равновесия можно прийти и другим путем, рассматривая вторую вариацию функционала Имеем

А это значит, что состояние равновесия устойчиво.

Рассмотрим особо случай сферической оболочки. Для сферической оболочки радиуса имеем и формула, устанавливающая зависимость между действующей силой и прогибом который она вызывает, принимает вид

Если радиус круга выпучивания обозначить через и заметить, что то эту зависимость можно еще записать так:

Таким образом, зависимость радиуса круга выпучивания от действующей силы является линейной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление