Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Изометрические преобразования выпуклых поверхностей с образованием ребер

В связи с применением вариационного принципа А к исследованию упругих состояний выпуклых оболочек нас будут интересовать изометрические преобразования выпуклых поверхностей с выпучиванием выпуклых областей и образованием ребер на их границе. Оказывается, такие изометрические преобразования допускают очень простое описание. Для полноты изложения напомним некоторые факты, относящиеся к изгибанию выпуклых поверхностей.

Пусть регулярная (по крайней мере дважды дифференцируемая) поверхность. Это значит, что на поверхности может быть введена криволинейная координатная сеть так, что вектор-функция задающая поверхность в этих координатах, является регулярной (по крайней мере дважды дифференцируемой) функцией. Линейным элементом поверхности, отвечающим данной параметризации называется дифференциальная квадратичная форма

где

Поверхности, у которых при соответствующей параметризации линейные элементы одинаковы, называются изометричными. Геометрически это означает, что существует соответствие точек этих поверхностей, при котором любые две соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины. Указанное геометрическое свойство может быть принято за определение понятия изометрии. В таком виде оно имеет смысл и для нерегулярных поверхностей.

Если среди поверхностей данного класса каждая поверхность, изометричная равна то поверхность называется однозначно определенной в этом классе. Например, любая замкнутая выпуклая поверхность (даже без предположения о регулярности) является однозначно определенной в классе выпуклых поверхностей [4].

Рис. 8

Указание класса рассматриваемых поверхностей существенно. Одна и та же поверхность может быть однозначно определенной в одном классе поверхностей и в то же время не быть однозначно определенной в другом, более широком классе. Так, замкнутая выпуклая поверхность не является однозначно определенной в классе кусочно-выпуклых поверхностей.

Действительно, пусть замкнутая выпуклая поверхность. Проведем плоскость а, пересекающую поверхность и отразим одну из ее частей, на которые она разбивается плоскостью а, зеркально в этой плоскости (рис. 8). Замкнутая поверхность составленная из части исходной поверхности и зеркального отражения в плоскости а, изометрична поверхности Изометрическое соответствие состоит в сопоставлении каждой точке поверхности принадлежащей совпадающей с ней точки поверхности а точке принадлежащей точки являющейся зеркальным изображением в плоскости а. Очевидно, такое отображение на является изометрическим. Но поверхности заведомо не равны, ибо не существует такого движения или движения и зеркального отражения для всей поверхности (а не отдельных ее частей), которое совмещало бы ее с поверхностью Условимся называть рассмотренное

изометрическое преобразование поверхности зеркальным выпучиванием.

Если данная поверхность и поверхность, изометричная то говорят также, что получена геометрическим изгибанием (или просто изгибанием) из Иногда под изгибанием понимают непрерывную деформацию поверхности с сохранением изометрии в каждый момент деформации. Мы будем употреблять слово изгибание как в том, так и в другом смысле, уточняя его в тех случаях, когда это может привести к недоразумениям. Заметим, что в рассмотренном примере зеркального выпучивания выпуклой поверхности поверхность может быть получена непрерывным изгибанием из Для этого достаточно взять плоскость а, сначала не пересекающую поверхность, и затем надвигать ее на поверхность, выполняя в каждом положении указанное построение с зеркальным отражением отсекаемой части.

В связи с предстоящими приложениями для нас особый интерес представляют изгибания строго выпуклых регулярных поверхностей с краем при условии неподвижности точек края и касательных плоскостей поверхности в этих точках. Для таких поверхностей мы прежде всего установим их однозначную определенность в классе дважды дифференцируемых поверхностей.

Пусть дважды дифференцируемая строго выпуклая поверхность с краем 7. Нетрудно дополнить ее до некоторой замкнутой выпуклой поверхности например, взяв выпуклую оболочку поверхности Если бы поверхность при указанном закреплении края у допускала нетривиальное изометрическое преобразование в классе регулярных поверхностей, то замкнутая поверхность очевидно, допускала бы изометрическое преобразование в классе выпуклых поверхностей. Но это невозможно в силу теоремы об однозначной определенности для таких поверхностей.

Как указано выше, поверхность будучи неизгибаемой в одном классе поверхностей, может быть изгибаема в более широком классе. В частности, регулярная, закрепленная по краю, строго выпуклая поверхность неизгибаема в классе регулярных поверхностей, но изгибаема в классе кусочно-регулярных поверхностей. В этом нас убеждает пример зеркального выпучивания. Здесь изометрическое преобразование связано с нарушением регулярности (образованием ребра) вдоль некоторой кривой, ограничивающей выпуклую область на поверхности.

В связи с этим рассмотрим следующий вопрос. Каково наиболее общее изометрическое преобразование регулярной, закрепленной по краю, строго выпуклой поверхности в классе кусочно-регулярных поверхностей, если нарушение регулярности разрешается лишь вдоль заданной, априори не обязательно плоской, кривой у, ограничивающей выпуклую область на поверхности

Рис. 9

Пусть часть поверхности расположенная вне области и примыкающая к краю. Прежде всего, мы утверждаем, что при любом изометрическом преобразовании поверхности с нарушением регулярности только вдоль кривой 7 поверхность не изменяется, т. е. точки ее остаются неподвижными. Это вытекает из единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения, к рассмотрению которого сводится задача о построении поверхности, изометричной данной. Это уравнение Монжа —Ампера эллиптического типа. Закрепление края поверхности дает начальные условия для указанной задачи Коши. Неизменяемость области влечет за собой неизменяемость ее края у. Таким образом, при изометрическом преобразовании поверхности деформируется только часть причем 7 — край области остается неподвижным. Пусть при изометрическом преобразовании ее часть переходит в

Если поверхность обращена выпуклостью в ту же сторону, что и то будет выпуклой поверхностью. Нетрудно заключить, что в этом случае она должна совпадать с Для этого достаточно воспользоваться рассуждением, с помощью которого установлена однозначная определенность в классе регулярных поверхностей. Итак, если поверхность допускает нетривиальное изометрическое преобразование, то надо считать, что обращена выпуклостью в другую сторону. При этом поверхности имея общий край, составляют замкнутую выпуклую поверхность (рис. 9). Обозначим ее Поверхность допускает изометрическое отображение на себя. Это отображение состоит в сопоставлении каждой точке области соответствующей по изометрии точки области и каждой

точке области соответствующей по изометрии точки области

Ввиду однозначной определенности замкнутых выпуклых поверхностей построенное изометрическое отображение поверхности на себя должно сводиться к движению или к движению и зеркальному отражению. Так как точки кривой у при изометрическом отображении остаются неподвижными, то дело сводится к зеркальному отражению поверхности относительно некоторой плоскости. Кривая у, будучи неподвижной, должна лежать в этой плоскости. Таким образом, мы приходим к следующему выводу.

Изометрическое преобразование строго выпуклой регулярной поверхности, закрепленной по краю, в классе кусочно-регулярных поверхностей с нарушением регулярности только вдоль кривой 7, ограничивающей выпуклую область возможно только тогда, когда кривая 7 плоская, и в этом случае оно сводится к зеркальному отражению области в плоскости кривой 7.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление