Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. УПРУГИЕ СОСТОЯНИЯ ОБЩИХ ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК

1. Вариационный принцип А и его обоснование

Предметом нашего исследования будут упругие состояния оболочек, при которых форма деформированной поверхности оболочки существенно отличается от первоначальной. Такие упругие состояния возникают обычно в результате потери устойчивости оболочки, поэтому мы будем называть их закритическими. Мы будем предполагать, что характер закрепления оболочки по краю гарантирует ее геометрическую неизгибаемость, т. е. исключает изометрические преобразования ее срединной поверхности в классе регулярных (дважды дифференцируемых) поверхностей. Это условие обычно всегда выполнено.

Исследуя закритические упругие состояния оболочек, мы будем исходить из предположения о том, что упругая деформация оболочки, сопровождающаяся значительным изменением ее формы, близка к некоторому изометрическому преобразованию. Основанием для этой гипотезы является то, что основные конструкционные материалы, каковыми являются металлы и их сплавы, допускают незначительные упругие деформации. Поэтому оболочка из такого материала даже при значительном изменении ее формы при деформации испытывает незначительные изменения метрики срединной поверхности. Естественно, такая деформация близка к изометрическому преобразованию, при котором происходит изменение формы поверхности, но не меняется ее внутренняя метрика.

Так как срединная поверхность оболочки не допускает регулярных изометрических преобразований, то изометрическое приближение упруго деформируемой оболочки должно принадлежать более широкому классу кусочно-регулярных поверхностей. Соответствующие опыты дают основание для такого предположения.

Исследуя упругие состояния оболочки при закритических деформациях, мы будем исходить из общего

вариационного принципа, согласно которому истинная форма оболочки сообщает функционалу стационарное значение. Ввиду близости истинной формы деформированной оболочки к некоторому ее изометрическому преобразованию мы будем искать эту форму на основе указанной близости. Итогом нашего исследования будет вариационный принцип А, согласно которому изометрическое приближение истинной формы оболочки определяется из условия стационарности некоторого функционала по смыслу сходного с но определенного уже только на изометрических преобразованиях формы срединной поверхности. Решение вариационной задачи для функционала дает ответ на основные вопросы, возникающие при исследовании закритического упругого состояния оболочки (максимальные прогибы, максимальные напряжения, характер устойчивости упругого равновесия и др.).

Пусть упругая оболочка с регулярной поверхностью под действием некоторой нагрузки, которую уточнять не будем, испытывает закритическую деформацию, принимая форму Если срединная поверхность оболочки геометрически неизгкбаема в классе регулярных поверхностей, то деформированная оболочка близка к соответствующей форме изометрического преобразования с нарушением регулярности вдоль некоторых линий у и образованием ребер вдоль этих линий. Наличие особенностей в виде ребер на изометрическом преобразовании поверхности и близость поверхности дают основание говорить о ребрах (сглаженных ребрах) на деформированной поверхности оболочки Разумеется, их форма и положение определены только в известном приближении, зависящем от близости деформированной оболочки к поверхности Для того чтобы условным ребрам 7 на поверхности деформированной оболочки приписать определенную форму и положение, мы поступим следующим образом. Ребру у на поверхности по изометрии соответствует некоторая кривая у на исходной поверхности При рассматриваемой деформации этой кривой на деформированной оболочке соответствует кривая у. Эту кривую естественно принять за условное ребро.

Наша ближайшая задача состоит в определении энергии упругой деформации при переходе от .

Эту энергию представляется целесообразным разбить на две части Под мы будем понимать энергию деформации по основной поверхности оболочки вне окрестности ребер у, а под -энергию деформации внутри указанных окрестностей.

Относительно энергии V мы будем предполагать, что она состоит в основном из энергии изгиба и, следовательно, на единицу площади поверхности она определяется по известной формуле

где -жесткость оболочки на изгиб, и -главные изменения нормальных кривизн оболочки при ее деформации в форму Ввиду того, что нарушение регулярности поверхности происходит только на ребрах можно считать, что поверхности вне окрестности ребер не только точечно близки, но имеют также близкие нормальные кривизны по соответствующим направлениям. Отсюда следует, что в формуле для величины можно считать изменениями нормальных кривизн при переходе от поверхности к изометрическому преобразованию

Для того чтобы получить энергию надо проинтегрировать выражение по площади поверхности исключая окрестности ребер. При этом если окрестности малы, как это мы и будем предполагать, то интегрирование можно распространить на всю поверхность Поэтому

Обратимся теперь к энергии деформации в окрестности ребер. Так же как в рассматриваемом примере сферической оболочки (§ 1), будем различать внешнюю и внутреннюю полуокрестности ребер и обозначим энергию деформации в этих окрестностях соответственно. Начнем с рассмотрения внешней полуокрестности.

Пусть произвольная точка ребра у на поверхности Ограничиваясь рассмотрением вблизи этой точки, введем цилиндрическую систему координат приняв в качестве оси системы прямую, проходящую через центр

круга, соприкасающегося с кривой у в точке Я, перпендикулярно плоскости этого круга. Выделим двумя радиальными плоскостями, близкими элемент оболочки из окрестности кривой у и вычислим в нем энергию деформации (рис. 7).

Рис. 7

Из наглядных соображений о деформации оболочки в окрестности ребра мы заключаем, что энергия деформации выделенного элемента состоит в основном из энергии изгиба в плоскости, перпендикулярной ребру и энергии растяжения-сжатия в направлении ребра.

Пусть сечение поверхности плоскостью, перпендикулярной ребру в точке в координатах задается уравнением

Обозначим через смещения точек поверхности при деформации ее в главной нормали, бинормали кривой у в точке

Определим изменение нормальных кривизн при переходе от поверхности во внешней полуокрестности ребра. В связи с этим целесообразно ввести в рассмотрение поверхность вращения, соприкасающуюся с поверхностью в точке Спрямление ребра на такой поверхности вблизи будет, очевидно, сопровождаться такими же изменениями нормальных кривизн, как и для поверхности Чтобы не вводить новых обозначений, предположим, что сама поверхность уже является поверхностью вращения.

Пусть нормальная кривизна поверхности в точке в направлении, перпендикулярном ребру у, в сторону внешней полуокрестности. Тогда если касательные плоскости поверхности вдоль ребра -у образуют малый угол, то нормальная кривизна поверхности в направлении, перпендикулярном ребру,

Соответственно для изменения нормальной кривизны при переходе от поверхности получается величина

где нормальная кривизна исходной поверхности в соответствующем направлении. В случае, когда изометрическое преобразование сводится к зеркальному отражению, мы получим тот же результат, что и в разобранном примере (§ 1).

Найдем изменение нормальной кривизны в перпендикулярном направлении. Подобно тому, как рассмотренном примере, для кривизны поверхности получается выражение

где нормальная кривизна поверхности в направлении ребра, а -угол между соприкасающейся плоскостью ребра и касательными плоскостями поверхности в точке Кривизна обращается в нуль на самом ребре, а вдали от ребра ввиду затухания деформаций, спрямляющих ребро она такая же, как и у поверхности Изменение кривизны при деформации поверхности равно

где —нормальная кривизна исходной поверхности в направлении, соответствующем ребру.

Зная изменение кривизн нетрудно записать выражение для энергии изгиба во внешней полуокрестности на единицу длины ребра:

где интегрирование выполняется по ширине 8 внешней полуокрестности ребра. Ввиду того, что спрямление ребра сопровождается значительными деформациями изгиба в плоскости, перпендикулярной ребру, в подынтегральном выражении энергии деформации естественно сохранить только члены, характеризующие этот изгиб, т. е. содержащие производную и отбросить остальные члены, играющие подчиненную роль. При этом для энергии

изгиба получается выражение

Определим энергию растяжения-сжатия срединной поверхности во внешней полуокрестности ребра при рассматриваемой деформации. Прежде всего мы предполагаем, что спрямление ребра сопровождается появлением существенных деформаций только в направлении ребра. Деформацию срединной поверхности в сечениях, перпендикулярных ребру, мы полагаем равной нулю. Относительная деформация срединной поверхности в направлении ребра равна

где радиус кривизны ребра у в точке Отсюда для энергии деформации растяжения-сжатия срединной поверхности на единицу длины ребра получаем выражение

где -жесткость оболочки на растяжение-сжатие.

Полная энергия деформации оболочки во внешней полуокрестности ребра

По поводу слагаемого выражения существенно заметить, что интегрирование в нем выполняется просто и, таким образом, зависит только от значений производной у на границе полуокрестности, т. е. при

Обратимся теперь к энергии деформации во внутренней полуокрестности ребра. Она вычисляется точно так же, и для нее получается аналогичное выражение. Разница только в том, что соответствующие величины дополнительного

члена берутся со стороны внутренней полуокрест ности. В частности, вместо будет нормальная кривизна поверхности в направлении, перпендикулярно!» ребру со стороны внутренней полуокрестности. Что касается то эта величина относится к внутренней полуокрестности, но отличается только знаком от соответствующей величины внешней полуокрестности. Величины относятся к исходной поверхности и поэтому сохраняют свое значение.

Поскольку мы игнорируем деформацию срединной поверхности в направлении, перпендикулярном ребру, то переменные определяющие деформацию оболочки, должны удовлетворять некоторому условию. Это условие мы получим, приравнивая линейные элементы поверхностей в сечении, перпендикулярном ребру. Имеем

Отсюда

Обозначим через угол между касательными плоскостями поверхности вдоль ребра у. Так как геодезические кривизны ребра у на поверхности отличаются только знаком при подходе кус двух сторон, то соприкасающаяся плоскость ребра образует с касательными плоскостями поверхности одинаковые углы, равные а. В предположении малости угла а соотношение между перемещениями можно упростить. Именно: замечая, что

можем записать это соотношение в следующем виде:

Мы предполагаем, что деформация ( спрямляющая ребро при переходе от изометрического преобразования к истинной форме быстро затухает при удалении от ребра. При этом, если вблизи ребра нет сосредоточенных нагрузок или близких к ним, варьирование формы оболочки Еблизи ребра практически не влияет на слагаемое А

функционала . В связи с этим форма оболочки вблизи ребра определяется из условия минимума энергии деформации, спрямляющей ребро. Рассмотрим эту вариационную задачу сначала во внешней полуокрестности ребра.

Вариационная задача для функционала содержит некоторую неопределенность. Именно: отсутствуют пока граничные условия для варьируемых функций характеризующих деформацию, и не определена ширина области задания этих функций. Что касается граничных условий для функций то они естественно вытекают из наглядных соображений о характере рассматриваемых деформаций. Именно: можно считать, что повороты касательных плоскостей при спрямлении ребра одинаковы по обе стороны и поэтому на ребре (по соображениям удобства дифференцирование ведется по дуге геодезической, перпендикулярной ребру, вместо дифференцирования по ). Далее, можно считать, что радиальные смещения на ребре равны нулю, т. е. Наконец, вдали от ребра, на границе полуокрестности, ввиду затухания деформаций

Для того чтобы устранить неопределенность, связанную с величиной перейдем к безразмерным переменным полагая

где

Замечая, что

для энергии деформации в новых переменных получим пыражение

где

Черта над обозначениями новых переменных для простоты записи опущена.

Связь между перемещениями в новых переменных принимает вид

Предел интегрирования зависит от параметра причем когда . В связи с этим, ограничиваясь случаем таких оболочек и их деформаций, для которых этот параметр мал, заменим верхний предел интегрирования в на приняв, таким образом,

Теперь задача по определению функций и соответствующей энергии деформации сводится к задаче на минимум функционала при неголономной связи для варьируемых функций и граничных условиях

Определение функций задающих деформацию во внутренней полуокрестности ребра, сводится к аналогичной вариационной задаче. Соответствующий функционал отличается только дополнительным членом в котором кривизны относятся к внутренней полуокрестности. Поэтому если обозначить

то энергия деформации, связанная со спрямлением ребра, запишется в виде

Второе слагаемое выражения получается от дополнительных членов энергии деформации во внутренней и внешней полуокрестности ребра. Полная энергия деформации оболочки, связанная с переходом ее из исходной формы равна

Производимая внешней нагрузкой работа А, ввиду близости упругой деформации к изометрическому преобразованию, определяется с помощью последнего обычным

образом. В итоге получается, что оба слагаемых функционала определены на изометрических преобразованиях исходной формы и поэтому общий вариационный принцип сводится к следующему вариационному принципу А.

Значительная закритическая деформация упругой оболочки под действием данной нагрузки близка к той форме изометрического преобразования исходной поверхности, которая сообщает стационарное значение функционалу

Этот функционал определен на изометрических преобразованиях срединной поверхности оболочки. Слагаемое определяется следующей формулой:

Здесь и -главные изменения нормальных кривизн при переходе от исходной формы оболочки к изометрическому преобразованию -угол между касательными плоскостями поверхности вдоль ребра (ребер) —радиус кривизны кривой -нормальная кривизна поверхности в направлении, соответствующем ребру и -нормальные кривизны поверхности в направлении, перпендикулярном ребру -нормальная кривизна поверхности в соответствующем направлении, -толщина оболочки, -модуль упругости, -коэффициент Пуассона. Постоянная

Интегрирование в первом слагаемом выполняется по площади поверхности а в остальных двух слагаемых — по дуге ребер у.

Слагаемое представляет собой производимую внешней нагрузкой работу при деформации оболочки в форму и вычисляется обычным образом.

Принцип А определяет не только форму оболочки при закритической деформации, но также и максимальные напряжения в ее материале при этой деформации.

Действительно, максимальные напряжения возникают, очевидно, в окрестности ребра и обусловлены либо изгибом в плоскости, перпендикулярной ребру, либо растяжением (сжатием) срединной поверхности в перпендикулярном направлении. В исходных переменных для максимального напряжения от изгиба в плоскости, перпендикулярной ребру, имеем

Максимальные напряжения растяжения (сжатия) срединной поверхности в направлении ребра

Переходя в этих формулах к безразмерным переменным получим

где -постоянные, определяемые с помощью функций и, v, реализующих минимум функционала по формулам

В § 1 была решена вариационная задача для функционала

При этом было получено значение Для функций реализующих минимум функционала, получены выражения

Отсюда находим

Соответственно

Замечание. При выводе формулы для энергии деформации оболочки мы предполагали, что деформация оболочки в направлении, перпендикулярном ребру, равна нулю. Если заранее не вводить никаких ограничений, как это сделано в аналогичном выводе в работе [3], то ограничение появляется само собой в ходе решения вариационной задачи. И оно выражает не равенство нулю деформаций, а равенство нулю напряжений в направлении, перпендикулярном ребру. Впрочем, на выражение энергии деформации это влияет не существенно. Появляется только множитель что при среднем значенин изменяет результат не более чем на 5%.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление