Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Решение вариационной задачи для функционала J

Рассмотрим вариационную задачу для функционала

Эта задача нас интересует не только в связи с рассмотрением вопроса об упругом состоянии сферического сегмента

под действием сосредоточенной силы. Оказывается, эта вариационная задача возникает при исследовании упругих состояний общих выпуклых оболочек, которому будет посвящен следующий параграф.

Итак, рассматривается вариационная задача для функционала при неголономной связи

и следующих граничных условиях для варьируемых функций:

Напомним, что переменные представляют собой соответственно нормированное радиальное смещение и угол поворота при переходе от изометрического преобразования сегмента к форме, которую он принимает при упругой деформации (рис. 2). Нормировка угла выполнена таким образом, что его значение в точке равно —1.

Рис. 2

Исходя из представления о локальном характере деформации оболочки в зоне сильного изгиба естественно предположить, что за точкой В, где величина остается малой и в дифференциальной связи переменных членом можно пренебречь. Тогда связь примет вид

Далее, очевидно, что максимум изгиба деформированной оболочки должен достигаться в непосредственной близости от точки А. Отсюда следует, что вблизи точки А значение определяющее изгиб, изменяется мало и естественно считать постоянной в некоторой окрестности точки А.

Принимая во внимание указанные два соображения, будем искать минимум функционала на множестве функций удовлетворяющих условиям

Здесь -параметр, подлежащий варьированию. Минимум функционала при заданном а будет известной

функцией от Для определения величины минимизируем эту функцию по :

Найдем функцию Полагая при

после интегрирования получим

Так как

Параметр имеет простой смысл. Именно: это такое значение при котором обращается в нуль, т. е. а. Таким образом, при имеем

Из уравнения

находим функцию при

Постоянная интегрирования определяется краевым условием и она равна Таким образом, при

Значения функций на конце а отрезка соответственно равны и 0, и они представляют собой начальные значения для варьируемых функций на оставшейся части полуоси

Так как при по предположению

то функционал можно представить в виде

Функция реализующая минимум функционала на полуоси удовлетворяет уравнению Эйлера

Его общее решение, исчезающее на бесконечности, допускает представление

где корни характеристического уравнения

с отрицательной вещественной частью, т. е.

Постоянные определяются условиями сопряжения функций при Имеем

Отсюда

Вычислим теперь значение При

Отсюда

При имеем

Отсюда

Таким образом,

Минимизируя по , находим

Соответственно для постоянной с в выражении энергии деформации сферического сегмента получается значение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление