Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Осесимметрическая деформация сферической оболочки

Общие соображения, изложенные в п. 1, мы применим сначала для решения простой задачи об определении упругого состояния жестко закрепленной по краю оболочки в форме сферического сегмента под действием сосредоточенной силы приложенной в вершине (рис. 1). Будем предполагать деформацию сегмента при таком нагружении осесимметрической.

Так как рассматриваемая деформация сегмента осесимметрическая, то деформированная поверхность является поверхностью вращения. Всякое изометрическое преобразование сегмента в поверхность вращения получается зеркальным отражением его части в некоторой плоскости, перпендикулярной оси, либо последовательным выполнением ряда таких отражений. В рассматриваемом варианте нагружения сегмента сосредоточенной силой соответствующее изометрическое преобразование получается, очевидно, одним зеркальным отражением (рис. 1, штриховая линия).

Рис. 1

Так как упругое выпучивание сегмента под действием сосредоточенной силы близко к некоторому зеркальному выпучиванию, то естественно искать истинную форму деформированного сегмента, варьируя это зеркальное выпучивание. При этом мы будем исходить из общего вариационного принципа, согласно которому для истинной формы сегмента под действием нагрузки функционал стационарен. Найдем выражение для энергии деформации и производимой силой работы А.

Очевидно, работу А можно вычислять просто по изометрическому преобразованию сегмента, полагая

где высота зеркально отражаемого сегмента. Что касается энергии деформации, то ее нельзя так просто выразить в зависимости от параметров изометрического преобразования. Дело в том, что изометрическое преобразование хорошо воспроизводит истинную форму оболочки в классе непрерывных поверхностей, но не отражает ее строения вблизи геометрического ребра (характер сглаживания ребра), а это существенно при определении энергии деформации.

Переход оболочки в деформированное состояние связан со значительным изгибом в плоскости меридиана, о чем свидетельствует наличие геометрического ребра на соответствующем изометрическом преобразовании. Этот изгиб сопровождается появлением значительных напряжений растяжения-сжатия в срединной поверхности в направлении параллели. Из наглядных соображений мы заключаем, что деформация сильного изгиба на границе выпучивания и соответствующие деформации срединной поверхности для достаточно тонких оболочек должны иметь местный характер.

Принимая во внимание изложенные выше соображения, мы разобьем поверхность сегмента на три области: (окрестность ребра) и оставшиеся две области на которые эта окрестность разбивает всю поверхность. Для определенности будем считать область внешней (прилегающей к краю сегмента). Вне окрестности ребра т. е. в областях энергию деформации оболочки можно вычислять обычным образом по изометрическому преобразованию.

В области изменения нормальных кривизн и равны нулю. Поэтому

В области

Поэтому

где площадь области При достаточно малой толщине оболочки зона достаточно узкая и поэтому площадь области можно считать равной площади зеркально отражаемого сегмента. Тогда

Обратимся теперь к энергии деформации в переходной зоне Рассмотрим сначала внешнюю полуокрестность ребра. Пусть — радиальное и осевое смещения точки при варьировании изометрического преобразования в истинную форму оболочки. Относительная деформация растяжения-сжатия срединной поверхности вдоль параллели радиуса будет

Предполагая зону достаточно узкой, можио считать

где радиус параллели вдоль ребра. Из наглядных соображений видно, что деформация растяжения-сжатия вдоль меридиана имеет подчиненное значение. Поэтому мы полагаем ее равной нулю. Таким образом, энергия деформации растяжения-сжатия во внешней полуокрестности ребра определяется по формуле

где интегрирование выполняется по площади внешней полуокрестности. Во внутренней полуокрестности ребра для энергии деформации растяжения-сжатия получается аналогичное выражение.

Рассмотрим теперь энергию деформации изгиба в переходной зоне связанную со спрямлением

геометрического ребра. Начнем с внешней полуокрестности. Очевидно, главные изменения нормальных кривизн при рассматриваемой деформации происходят в направлении меридианов и параллелей поверхности. При достаточной пологости оболочки кривизна деформированного меридиана

Отсюда изменение кривизны при изгибе равно

(дифференцирование по дуге меридиана).

Найдем кривизну деформированной оболочки вдоль параллели. Как известно, для поверхности вращения радиус нормальной кривизны в направлении параллели равен отрезку нормали между точкой поверхности и пересечением с осью. Отсюда для нормальной кривизны вблизи ребра получается выражение

где а — угол, под которым пересекает исходный сегмент плоскость зеркального отражения. Так как нормальная кривизна исходной поверхности равна то интересующее нас изменение кривизны при деформации

(положительное направление отсчета по внутренней нормали исходного сегмента в его центре).

Энергия деформации изгиба во внешней полуокрестности ребра равна

где интегрирование выполняется по площади полуокрестности. Ввиду осевой симметрии деформации и малой ширины полуокрестности

Среднее слагаемое подынтегрального выражения имеет подчиненное значение и поэтому может быть опущено,

Третье слагаемое без труда интегрируется. Отсюда, замечая, что получаем выражение для энергии изгиба в виде

Полная энергия деформации во внешней полуокрестности равна

Обратимся теперь к энергии изгиба во внутренней полуокрестности ребра. Кривизна деформированной оболочки в направлении меридиана

Соответственно изменение кривизны по меридиану

Кривизна деформированной оболочки вдоль параллели

Изменение кривизны

Подставляя эти значения в формулу для энергии деформации изгиба и опуская члены, имеющие подчиненное значение, для внутренней полуокрестности ребра получим

или после интегрирования

Полная энергия деформации оболочки во внутренней

полуокрестности равна

Как указано выше, истинная форма деформированной оболочки хорошо приближается изометрическим преобразованием вне окрестности ребра Переход от изометрического преобразования к истинной форме варьированием в области не влияет на производимую внешней нагрузкой работу А. Поэтому форма деформированной оболочки в области естественно должна быть определена из условия минимума энергии деформации в этой области. Рассмотрим эту задачу сначала для внешней полуокрестности.

Для энергии деформации оболочки во внешней полуокрестности мы получили следующее выражение:

Задача состоит в том, чтобы найти функции сообщающие этому выражению минимальное значение. Из наглядных соображений о характере рассматриваемых деформаций для функций получаются следующие граничные условия:

Это условие означает, что при сглаживании ребра деформацией касательные плоскости вдоль ребра переходят в горизонтальную плоскость (перпендикулярную оси оболочки).

Это значит, что вдоль ребра радиальные смещения отсутствуют.

Эти условия выражают локальный характер деформаций, спрямляющих ребро. При удалении от ребра деформации быстро затухают.

Имеется еще одно условие, которому подчинены функции Это условие выражает равенство нулю относительных деформаций оболочки вдоль меридиана. Найдем его. Для исходной поверхности оболочки линейный

элемент меридиана

цилиндрические координаты. У деформированной оболочки

Отсюда

При малом

Поэтому связь между функциями задающими деформацию, можно записать в виде

Итак, определение истинной формы оболочки вблизи ребра во внешней полуокрестности сводится к задаче на минимум для функционала при краевых условиях 1), 2), 3) и неголономной связи

Для внутренней полуокрестности ребра возникает аналогичная вариационная задача для функционала с теми же граничными условиями и неголономной связью для варьируемых функций. Заметим, что выражения отличаются только слагаемым, не зависящим от варьируемых функций Отсюда следует, что оба функционала минимизируются одной и той же системой функций . В связи с этим можно ограничиться рассмотрением задачи о минимуме только для внешней полуокрестности, т. е. для функционала

Исследуя вариационную задачу для функционала удобно ввести безразмерные переменные. Положим

В новых переменных

где

Черта над обозначениями новых переменных опущена. Прежние краевые условия примут вид

Из выражения для видно, что эта величина неограниченно возрастает с убыванием толщины оболочки . В связи с этим для оболочек малой толщины при заданном масштабе общей деформации верхний предел в можно взять равным полагая, таким образом,

Неголономная связь в безразмерных переменных принимает вид

Теперь наша вариационная задача стала вполне определенной. Требуется определить функции реализующие минимум функционала при граничных условиях и неголономной связи

Если значение подставить в выражение энергии деформации, то после суммирования отдельных слагаемых для энергии деформации всей оболочки, т. е. по всем областям получается следующее простое выражение:

где

Предполагая достаточную пологость сегмента, можно считать

Подставляя эти значения в формулу для получим энергию деформации в зависимости от прогиба в центре сегмента:

Теперь функционал к рассмотрению которого сводится наша задача, выглядит довольно просто:

Он представляет собой функцию одной варьируемой величины Из условия экстремума

находим связь между действующей на оболочку силой и прогибом, который она вызывает:

Зная величину находим зеркальное выпучивание, соответствующее упругой деформации под действием силы Функции реализующие минимум функционала восстанавливают детали формы оболочки в переходной зоне . В частности, через них определяются максимальные напряжения от местного изгиба на границе выпучивания и напряжения в срединной поверхности. Определение этих величин обычно составляет основной объем исследования упругого состояния оболочки.

Изложенное решение задачи об упругом состоянии сферического сегмента является, конечно, приближенным. По ходу этого решения мы сделали ряд упрощающих предположений, что и позволило нам получить окончательный результат в замкнутом виде. Наиболее существенным среди сделанных предположений является предположение о локальном характере деформации, которая спрямляет ребро при переходе от изометрического преобразования к истинной форме оболочки. Это предположение выполняется тем точнее, чем тоньше оболочка. В связи с этим можно утверждать, что полученное решение задачи будет сколь угодно близко к точному в отношении основных величин (максимальный прогиб, максимальные напряжения от изгиба и растяжения-сжатия в срединной поверхности), если оболочка достаточно тонкая, а рассматриваемые деформации значительны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление