Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1. ИЗГИБАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ И УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК

1. Основная задача теории оболочек и геометрический подход к ее решению

Оболочка — это упругое тело, у которого один из размеров (толщина оболочки) мал по сравнению с другими размерами. В настоящее время в связи с успехами в современной технологии получения оболочек они стали наиболее распространенными элементами различных конструкций. Это объясняется тем, что применением оболочек решаются одновременно две важные задачи: придание заданной формы конструкции и обеспечение необходимой прочности при минимальной массе.

Основная задача теории оболочек состоит в определении деформаций оболочки и возникающих в ее материале напряжений под действием заданной нагрузки. Один из методов решения этой задачи основан на вариационном принципе Лагранжа. Если действующая на оболочку нагрузка консервативна, т. е. производимая ею работа при деформации оболочки из исходной формы зависит только от формы но не зависит от характера перехода из то указанный вариационный принцип состоит в следующем.

Оболочка под действием данной нагрузки среди всех возможных форм удовлетворяющих условию закрепления вдоль края, принимает такую форму, для которой функционал

стационарен, т.е. его вариация Здесь энергия деформации оболочки, производимая внешней нагрузкой работа.

Если через обозначить составляющие перемещения точек срединной поверхности оболочки при ее деформации, то подынтегральное выражение в энергии деформации представляет собой довольно сложное

выражение, содержащее функции и их производные до второго порядка. Уравнения Эйлера — Лагранжа для функционала представляют собой систему трех дифференциальных уравнений четвертого порядка для функций Вполне понятно, что решение основной задачи теории оболочек на этом пути представляется довольно трудным.

В ряде случаев представляется возможным предположить известную малость смещения точек срединной поверхности и изменения ее нормальных кривизн при деформации. В этом предположении функционал можно упростить, ограничиваясь квадратичной его частью. -ответствующая система уравнений Эйлера — Лагранжа будет линейной. Решение основной задачи теории оболочек в предположении указанной малости деформации составляет предмет линейной теории.

Если рассматриваемые деформации оболочки не сопровождаются значительными изменениями нормальных кривизн, в выражении энергии деформации может быть опущено слагаемое, связанное с изгибом оболочки. Теория оболочек, включающая и это упрощающее предположение, называется безмоментной теорией оболочек.

Мы будем рассматривать такие упругие состояния оболочки, которые отличаются весьма значительными изменениями первоначальной формы. В этих рассмотрениях принципиально недопустима линеаризация задачи, а также применение безмоментной теории. Однако, как мы сейчас покажем, именно предположение о значительных изменениях формы оболочки при ее деформации делает возможным новый подход к решению задачи, основанный на простых геометрических соображениях.

Дело в том, что наше предположение о значительных изменениях формы оболочки влечет за собой важное заключение о характере деформации. Именно: форма срединной поверхности оболочки при такой деформации неизбежно близка к одной из форм ее изометрического преобразования. Действительно, для основных конструкционных материалов модули упругости имеют порядок а временное сопротивление порядка Таким образом, максимальная относительная деформация имеет порядок Отсюда следует, что, несмотря на значительные изменения формы оболочки, внутренняя метрика ее срединной поверхности практически не изменяется (изменение составляет величину порядка Деформация поверхности без изменения

ее внутренней метрики есть геометрическое изгибание. Деформация с малым изменением внутренней метрики естественно приводит к формам, близким к изометрическим преобразованиям.

Так как форма оболочки при значительной деформации близка к изометрическому преобразованию исходной поверхности, то в поисках решения вариационной задачи для функционала естественно ограничиться рассмотрением форм, близких к изометрическим преобразованиям. Решение задачи облегчается еще благодаря некоторой специфике изометрических пррпбрязпияний, вблизи которых находится искомая форма.

Дело в том, что срединная поверхность оболочки ввиду закрепления ее края обычно не допускает регулярных геометрических изгибаний. Как говорят, оболочка геометрически неизгибаема. Геометрически изгибаемая оболочка воспринимала бы действующую на нее нагрузку только за счет изгиба, а при малой толщине оболочки жесткость ее на изгиб ничтожна. Поэтому каждая грамотно сконструированная оболочка должна быть геометрически неизгибаемой. Поскольку срединная поверхность не допускает регулярных изгибаний, то изометрические преобразования, о которых шла речь выше, должны находиться в более широком классе поверхностей с нарушением регулярности вдоль линий. Наличие этих особенностей на изометрическом преобразовании и дает ключ к решению основной задачи.

Решение вариационной задачи для функционала мы расчленяем на два этапа. На первом этапе изометрическое преобразование фиксируется и функционал рассматривается на формах, близких к этому изометрическому преобразованию. Решение задачи на этом этапе удается получить в замкнутом виде при самых общих предположениях о поверхности оболочки и ее изометрическом преобразовании. В результате решения этой задачи функционал оказывается теперь определенным на изометрических преобразованиях, и общий вариационный принцип принимает геометрическую форму (принцип А, § 2). Найденное на втором этапе изометрическое преобразование, исправленное малой добавкой, полученной на первом этапе., и дает истинную форму оболочки при заданном нагружении.

Основная трудность при решении задачи на втором этапе состоит в определении возможных изометрических преобразований срединной поверхности, совместимых с

условиями закрепления. Качественные соображения о характере ожидаемых деформаций оболочки, подсказываемые опытом, часто облегчают решение этой задачи, сужая класс изометрических преобразований, на которых следует рассматривать функционал Что касается самого функционала, то он, будучи определенным на изометрических преобразованиях с нарушением регулярности вдоль линий, зависит от одной или нескольких функций, задающих форму этих линий на поверхности.

Описанный метод решения вариационной задачи для функционала является на первом этапе приближенным. Именно поэтому и удается получить решение на этом этапе в замкнутой форме. Однако, будучи приближенным, этот метод выгодно отличается от других методов тем, что даваемое им решение тем точнее, чем тоньше оболочка при заданных масштабах рассматриваемых деформаций, и оно становится точным, когда толщина оболочки неограниченно убывает. Если рассматривать вариационную задачу для функционала как задачу с малым параметром (толщина оболочки), то получаемое нами решение представляет собой основное приближение к точному решению.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление