Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Исследование потери устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии

Найдем выражения для слагаемых функционала к рассмотрению которого сводится вопрос о потере устойчивости. Имеем

где разрыв изгибающего поля вдоль радиус кривизны кривой угол между соприкасающейся плоскостью кривой у и касательной плоскостью поверхности. Вместо удобно ввести разрыв изгибающего поля по нормали к поверхности. Так как вектор направлен по бинормали кривой у, то Формула для принимает вид

Введем в рассмотрение нормальную кривизну поверхности в направлении кривой и геодезическую кривизну кривой у. Имеем

Отсюда следует

Геодезическую кривизну найдем, как обычную кривизну кривой у на развертке цилиндра. Для нее получается выражение

Найдем нормальную кривизну поверхности в направлении кривой у. По формуле Эйлера

где —угол, под которым пересекает кривая у образующую цилиндра. Имеем

Таким образом,

Элемент дуги кривой у

В итоге в интересующем нас выражении можно сделать замену:

Найдем теперь на линии разрыва у. Имеем

Известное условие на разрыв изгибающего поля дает соотношение

Дифференцируя это соотношение, получим

Отсюда следует, что вдоль линии у

В итоге для слагаемого функционала получается следующее простое выражение:

Найдем теперь слагаемое А функционала Это слагаемое есть работа, производимая внешней нагрузкой при деформации, определяемой бесконечно малым изгибанием. Пусть величина нагрузки на единицу площади поперечного сечения оболочки. Тогда так как сокращение образующей то работа, производимая нагрузкой равна

Теперь функционал

Так как вариация второго слагаемого заведомо отлична от нуля, а при потере устойчивости то для критической нагрузки должно быть

Отсюда получается величина критической нагрузки

Эта формула в точности совпадает с формулой для критической нагрузки, которую дает линейная теория оболочек

Известно, что в тщательно поставленных экспериментах с геометрически совершенными оболочками действительно наблюдается критическая нагрузка, даваемая формулой . В частности, такие значения критической нагрузки наблюдались в эксперименте, который описан в § 4. Известно также, что в реальных конструкциях потеря устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии наступает при меньшем значении нагрузки. Обычно это объясняется тремя причинами: несовершенством формы оболочки, неравномерностью нагружения и начальным напряженным состоянием, возникающим при закреплении

края оболочки. В рамках принятой нами геометрической модели явления влиянию несовершенства формы и неравномерности нагружения можно дать количественную оценку.

Дело в том, что в нашем рассмотрении на кривую у не накладывалось никаких ограничений, так же как и на величину разрыва изгибающего поля вдоль образующей кроме, конечно, постоянства знака. Поэтому можно было вести рассмотрение для произвольной кривой у и существенном разрыве поля в малом интервале значений Тогда, не предполагая постоянства нагрузки вдоль края, мы получили бы для ее максимального значения выражение

Те же соображения позволяют заключить, что при несовершенстве формы оболочки, отклонении от окружности в поперечном сечении, критическая нагрузка определяется по формуле где в качестве надо брать наибольший радиус кривизны поперечного сечения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление