Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Потеря устойчивости выпуклых оболочек под внешним давлением

Применим вариационный принцип В к исследованию потери устойчивости выпуклой оболочки под внешним давлением. Начнем со сферической оболочки. Пусть сферическая оболочка с произвольным краем жестко закреплена вдоль края и находится под действием равномерного внешнего давления Пусть при этом давлении оболочка теряет устойчивость и начинает выпучиваться по некоторой области ограниченной кривой . Согласно

вариационному принципу В, существует не равное нулю изгибающее ноле на поверхности с разрывом вдоль , для которого

где варьирование по параметру деформации.

Так как край оболочки закреплен, то изгибающее поле вне области равно нулю. Отсюда следует, что изгибающее поле на границе области направлено по бинормали кривой у.

Найдем выражения для слагаемых функционала Имеем

Так как изгибающее поле вдоль у направлено по бинормали кривой , то есть составляющая изгибающего поля по геодезической нормали к кривой на поверхности. Далее где радиус кривизны оболочки. Подставляя полученные выражения в формулу для получим

Производимая внешним давлением работа

где -нормальная к поверхности оболочки составляющая изгибающего поля, а интегрирование выполняется по площади области

Отметим следующее равенство:

Это геометрическое равенство допускает простую физическую интерпретацию. Оно выражает собой условие равновесия области оболочки как безмоментной под действием единичной нагрузки, действующей по краю области и внешнего давления по поверхности величиной

С помощью равенства представим функционал в виде

Поскольку вариация второго сомножителя заведомо отлична от нуля, то

Таким образом, для сферической оболочки, закрепленной по краю, без каких-либо предположений о форме потери устойчивости получается величина критического давления

Заметим, что эта формула в точности совпадает с формулой, получаемой в линейной теории оболочек. Это имеет простое объяснение. В линейной теории критическая нагрузка получается из рассмотрения форм равновесия близких к исходной форме. При потере устойчивости воспринимаемая оболочкой нагрузка в известной мере сохраняется, в то время как форма упругого равновесия изменяется весьма значительно. Неудивительно, что предпринятое нами изучение этой формы приводит к той же величине критического давления.

Рассмотрим теперь вопрос о потере устойчивости общей выпуклой оболочки под внешним давлением при условии жесткого закрепления края. Пусть потеря устойчивости оболочки сопровождается выпучиванием малой области ограниченной кривой у. Малость области будем понимать по сравнению с радиусами кривизны оболочки.

Как и в случае сферической оболочки, изгибающее поле вне области равно нулю. Следовательно, изгибающее поле на границе области направлено по бинормали кривой у. Найдем общее представление для таких полей.

Примем какую-нибудь точку области за начало декартовой системы координат, касательную плоскость — за плоскость а нормаль к ней — за ось При этом, если за направление осей х и у принять главные направления поверхности в точке поверхность в области при условии малости этой области можно задать уравнением

где -главные кривизны поверхности в точке

Введем на поверхности координаты полагая

В этих координатах наша поверхность задается уравнениями

Пусть -составляющие изгибающего поля поверхности по осям х, соответственно. Из уравнения бесконечно малых изгибаний получается следующая система уравнений для функций

Если из этой системы исключить функции то для получается уравнение Лапласа

Полагая

можем представить общее выражение для функции с помощью аналитической функции комплексного переменного

Что касается двух других составляющих изгибающего поля то они выражаются через функцию по формулам

Положим

Тогда

Изгибающее поле на границе области т. е. на кривой у, должно быть направлено по бинормали этой кривой.

Но, как мы знаем, это эквивалентно обращению в нуль составляющей поля по направлению кривой у, т. е. условию

Подставляя в это равенство выражения для , получим

или

Существенно заметить, что параметры в этом условии отсутствуют.

Найдем теперь выражения для слагаемых функционала Имеем

Ввиду малости области можно считать, что где -кривизна проекции кривой у на плоскость -нормальная кривизна поверхности в направлении у. Таким образом,

Введем на плоскости полярные координаты полагая

В этих координатах получается следующее выражение:

где функция, задающая кривую у. Соответственно,

Ввиду малости области

Таким образом,

Возьмем теперь сферическую оболочку радиусом будем рассматривать для нее вопрос о потере устойчивости так же, как это мы делаем для общей выпуклой оболочки. При этом получим тот же функционал и ту же для него математическую задачу. А так как для сферической оболочки критическое давление как мы знаем, определяется по формуле

то для общей выпуклой оболочки критическое давление должно определяться по формуле

или

где главные радиусы кривизны.

Формула для критического давления на общую выпуклую оболочку была получена в книге [1]. Данное здесь решение отличается тем, что мы не делаем никаких предположений относительно характера потери устойчивости, кроме малости размеров области выпучивания по сравнению с главными радиусами кривизны и

Критическое внешнее давление для случая сферической оболочки экспериментально исследовалось многими авторами (см. [7]). Эти исследования показывают, что для геометрически совершенных сферических оболочек и совершенного закрепления оболочки вдоль края действительно получается теоретическое значение величины критического давления. В частности, значения критического давления, очень близкие к теоретическому значению, получались в эксперименте, который описан в § 2. Однако для сферических оболочек в реальных конструкциях наблюдается меньшее значение критического давления. Одна из причин этого состоит в несовершенстве формы оболочки. Полученная формула для критического

давления в случае общей выпуклой оболочки позволяет количественно оценить влияние этого фактора. Именно: ввиду возможности потери устойчивости с выпучиванием малой области, как это предполагается в выводе формулы, для несовершенной сферической оболочки критическое давление определяется минимальным значением гауссовой кривизны и определяется по формуле

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление