Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Вариационный принцип B и его обоснование

Пусть потеря устойчивости оболочки под действием данной нагрузки сопровождается выпучиванием области ограниченной кривой . Исходя из наглядного представления о характере выпучивания мы полагаем, что

существенные внутренние деформации оболочка испытывает только в окрестности кривой у, а вне этой окрестности деформация сводится к бесконечно малому изгибанию. Соответственно энергия деформации оболочки сосредоточена в этой окрестности. Изгибающие поля внутри области и вне этой области подчиняются естественному ограничению. Именно: мы будем требовать, чтобы их составляющие по направлению у были равны. Это ограничение имеет простой физический смысл. Если эти составляющие различны, то касательные напряжения в срединной поверхности оболочки при сужении окрестности кривой у были бы сколь угодно велики. А это невозможно по энергетическим соображениям.

Предполагая близость деформированной оболочки к ее исходной форме и воспроизводя рассуждения § 2, получим такое же по форме, как и там, выражение для энергии деформации оболочки на единицу длины у (границы области Именно:

Соответствующая формула для существенно закритических деформаций содержала еще два слагаемых. В данном случае, ввиду близости деформированной оболочки к исходной форме, эти слагаемые можно игнорировать.

Напомним, что в формуле для величины обозначают смещения (при деформации) соответственно по направлению главной нормали и бинормали кривой у той точки поверхности, к которой относится, а через обозначены жесткости оболочки на изгиб и растяжение-сжатие. Перемещения связаны соотношением

где -угол между соприкасающейся плоскостью кривой у и касательной плоскостью поверхности.

Так же, как в § 2, вместо переменных вводим новые переменные согласно формулам

Здесь —радиус кривизны кривой -толщина оболочки.

В новых переменных, черту над которыми мы для простоты записи опускаем, получим

Пределы интегрирования неограниченно растут по абсолютной величине вместе с Поэтому, ограничиваясь случаем таких оболочек и деформаций, для которых мало, пределы интегрирования можно заменить на Тогда

Как всегда, будем предполагать симметрию функции и антисимметрию Тогда можно ограничиться интегрированием в пределах Поэтому

Условимся обозначать ту часть области которая расположена вне рассматриваемой окрестности кривой у, через А и саму окрестность — через а оставшуюся часть оболочки — через Найденное нами выражение для энергии существенно зависит от формы оболочки в переходной зоне эта форма определяется функциями задающими деформацию. Так же, как при исследовании закритических деформаций в § 2, энергию мы определим из условия минимума при заданной общей деформации. Эту деформацию мы характеризуем разностью составляющих по бинормали кривой у изгибающих полей внутри и вне области

В исходных переменных величина допускает очевидное представление:

Если перейти новым переменным и пределы интегрирования заменить на то получим

или, учитывая предполагаемую симметрию функции

Таким образом, энергия а следовательно, и функции и, V, от которых она зависит, определяются из условия минимума функционала

при добавочном ограничении

Варьируемые функции помимо указанной интегральной связи, удовлетворяют еще соотношению

и обращаются в нуль на бесконечности.

Рассмотрим задачу о минимуме функционала . В связи с этим прежде всего преобразуем связь

при помощи соотношения Если это соотношение проинтегрировать в пределах и учесть при этом, что то получим

Отсюда, принимая во внимание симметрию функции получим

Следовательно, интегральная связь, которой подчинена функция может быть представлена в виде

Итак, наша вариационная задача состоит в определении минимума функционала

при условиях

Поскольку нас интересует начальная стадия закритической деформации, то в соотношении слагаемым можно пренебречь, придав, таким образом, этому соотношению совсем простую форму:

Если теперь всюду заменить на , то приходим к задаче о минимуме функционала

с интегральной связью

при краевых условиях для варьируемой функции:

Согласно методу наша вариационная задача сводится к рассмотрению безусловного экстремума функционала

где -некоторое постоянное. Полагая для краткости

можем считать, что речь идет об экстремуме функционала

который отличается от только постоянным множителем. Уравнение Эйлера-Лагранжа для функционала

Его общее решение —

где -корни характеристического уравнения

Для того чтобы удовлетворить краевому условию и надо, чтобы среди характеристических корней были два корня с отрицательной вещественной частью. Если эти корни обозначить , то решение нашей вариационной задачи дает функция вида

Для того чтобы удовлетворить и второму краевому условию и надо потребовать, чтобы

При этом для функции и получается выражение

Подставим найденную функцию в выражение функционала связь. Тогда получим

Замечая, что в нашем случае корни попарно сопряжены и равны единице по абсолютной величине,

можем записать

Подстановка этих значений в наши интегралы дает

Отсюда

Следовательно,

Минимум при достигается для

И получаем следующее окончательное выражение для энергии деформации:

Замечание. Рассматривая существенно закритические деформации оболочки в § 2, мы предполагали малость области выпучивания и соответственно малость угла а. Это предположение было естественно, так как при больших а на границе области возникают значительные напряжения, заведомо превосходящие предел упругости материала оболочки. Рассматривая начальную стадию выпучивания, это предположение можно не вводить. При этом в формуле для энергии деформации вместо а будет Далее, если дифференциальную связь между переменными вводить не из условия равенства нулю деформаций в направлении, перпендикулярном кривой у, как это сделано для простоты вывода, а из условия равенства нулю напряжений, то выражение энергии деформации получит множитель Принимая все это во внимание, мы примем для энергии деформации оболочки в начальной стадии выпучивания следующее выражение:

Теперь, исходя из общего вариационного принципа, мы утверждаем следующий вариационный принцип

Если действующая на оболочку нагрузка критическая, то вариационная задача для функционала

на разрывных бесконечно малых изгибаниях срединной поверхности имеет нетривиальное решение, т. е. изгибающее поле, являющееся решением, не равно нулю тождественно.

Функционал определен на бесконечно малых изгибаниях с разрывами, удовлетворяющими условию

где разрыв изгибающего поля, единичный вектор бинормали кривой , вдоль которой происходит разрыв.

Слагаемое функционала -энергия деформации — определяется по формуле

Здесь радиус кривизны кривой , где происходит разрыв изгибающего поля; а — угол между соприкасающейся плоскостью кривой и касательной плоскостью поверхности; составляющая разрыва изгибающего поля по бинормали кривой толщина оболочки, модуль упругости, коэффициент Пуассона. Интегрирование выполняется по дуге кривой .

Слагаемое А функционала определяется обычным образом, как производимая внешней нагрузкой работа при деформации, задаваемой изгибающим полем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление