Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ИЗГИБАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

1. Бесконечно малые изгибания поверхностей

Рассматривая вопрос о закритических деформациях выпуклых оболочек мы пришли к выводу о возможности, а затем и целесообразности приближения этих деформаций изометрическими преобразованиями исходной формы оболочки. В результате вопрос об определении закритических упругих состояний выпуклых оболочек сведен к рассмотрению вариационной задачи для функционала который определен на изометрических преобразованиях срединной поверхности оболочки (вариационный принцип А). Общие соображения, которыми мы при этом пользовались, в известной степени применимы к исследованию начальной стадии закритической деформации непосредственно после потери устойчивости. Такое исследование мы проведем в настоящем параграфе. Его итогом будет вариационный принцип В, согласно которому исследование потери устойчивости, в частности определение критической нагрузки, сводится к вариационной задаче для некоторого функционала, который мы снова будем обозначать определенного на разрывных бесконечно малых изгибаниях исходной формы оболочки.

Идея состоит в следующем. Представим себе выпуклую оболочку, которая нагружена внешним давлением. Опыт показывает, что при потере устойчивости оболочки под такой нагрузкой происходит четко выраженное выпучивание некоторой области на поверхности оболочки. Пока форма оболочки еще достаточно близка к исходной, мы будем апроксимировать ее бесконечно малыми изгибаниями внутри области и вне этой области. Если оболочка жесткая, т. е. ее срединная поверхность как целое не допускает бесконечно малых изгибаний, изгибающие поля внутри области и вне ее должны быть различны, т. е. на границе области должен быть разрыв изгибающего поля. Для того чтобы аппроксимировать форму оболочки в целом при рассматриваемой деформации, мы

сгладим этот разрыв, пользуясь энергетическими соображениями подобно тому, как это было сделано для закритических деформаций, приближаемых изометрическими преобразованиями с нарушением гладкости в § 1.

Напомним некоторые факты теории бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей. Пусть

— регулярная поверхность и векторное поле, заданное на поверхности. Деформация поверхности в поверхность задаваемую уравнением

называется бесконечно малым изгибанием, если длины кривых на поверхности при этой деформации в начальный момент, т. е. при стационарны. Векторное поле называется изгибающим полем. Бесконечно малое изгибание называется тривиальным, если изгибающее поле является полем скоростей движения поверхности как твердого целого. Поверхность, не допускающая нетривиальных бесконечно малых изгибаний, называется жесткой.

Строго выпуклая поверхность с закрепленным краем является жесткой. Более того, если поверхность не односвязна и закреплена только вдоль одной компоненты края, то она жесткая. Напротив, если поверхность с краем нигде не закреплена, то она, как правило, допускает нетривиальные бесконечно малые изгибания и притом с большим произволом.

Из условия стационарности длин кривых на поверхности при бесконечно малом изгибании получаются уравнения для изгибающего поля:

Или, в развернутом виде,

Если поверхность задана уравнением то уравнения бесконечно малых изгибаний будут

где компоненты изгибающего поля по осям х, Из этих уравнений путем исключения функций получается уравнение для функции

Пусть в области на поверхности задано изгибающее поле а вне этой области — изгибающее поле Векторное поле, заданное таким образом на всей поверхности, вообще говоря, будет иметь разрыв на границе области. Выясним направление вектора на кривой , если составляющие по касательной к равны. Итак, пусть Дифференцируя это равенство вдоль , получим

Так как поля изгибающие на , то Поэтому следовательно, Так как и то вектор направлен по бинормали кривой . Верно также обратное. Именно: если разность изгибающих полей на направлена по бинормали к , то составляющая этой разности по касательной к равна нулю.

В связи с исследованием потери устойчивости выпуклых оболочек нас будет интересовать следующий вопрос. Пусть на регулярной строго выпуклой поверхности (с положительной гауссовой кривизной) задана произвольная гомеоморфная кругу область ограниченная регулярной кривой . Спрашивается, существует ли не равное нулю изгибающее поле в области с равной нулю составляющей по касательной к на границе области Вопрос может быть поставлен иначе. Именно: существует ли не равное нулю изгибающее поле в области направленное по бинормали кривой на границе В такой постановке вопрос сводится к существованию изгибающего поля с втулочной связью на границе поверхности. Как известно, такие поля всегда существуют и притом с произволом трех параметров [6].

Приведем пример. Если область отсекается от поверхности плоскостью, то эти изгибающие поля суть: поле скоростей смещения области в направлении, перпендикулярном плоскости, поля вращений области относительно двух непараллельных прямых в этой плоскости и любая их линейная комбинация.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление