Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Исследование закритических упругих состояний цилиндрической оболочки при осевом сжатии

Мы будем исследовать закритические упругие состояния цилиндрической оболочки при осевом сжатии, исходя из вариационного принципа А, который сводит этот вопрос к рассмотрению вариационной задачи для функционала

Слагаемые этого функционала найдены в п. 2. Однако их выражения содержат неизвестные параметры Для того чтобы придать им определенные значения, мы будем исходить из предположения, что периодичность прогибов оболочки сохраняется при закритической деформации и такая же, как в момент потери устойчивости. Для того чтобы определить периодичность прогибов в момент потери устойчивости, мы обратимся к линейной теории оболочек [5].

В линейной теории оболочек доказывается, что нормаль прогиб цилиндрической оболочки радиусом в момент потери устойчивости удовлетворяет дифференциальному уравнению

Здесь х и у — криволинейные координаты: образующей, круговому сечению, перпендикулярному оси; -жесткость оболочки на изгиб, — критическая нагрузка, а

— оператор Лапласа. Анализируя это уравнение, приходят к выводу о том, что прогиб оболочки в момент потери устойчивости при условии шарнирного опирания по краям имеет вид

Подставляя это выражение в уравнение получим связь между параметрами волнообразования и критической нагрузкой

Введем вместо тип параметры

Тогда, полагая

будем иметь

Наименьшее значение отвечает верхней критической нагрузке. Оно получается, если параметры связаны соотношением

Тогда

Соотношение не определяет а следовательно, тип однозначно. Однако, как показывает опыт, оболочка теряет устойчивость таким образом, что значение 1. Если для принять это значение, то соотношение определяет а значит, тип. В частности, для получается следующая формула:

При

Предположив, что периодичность прогибов оболочки сохраняется при закритической деформации, и, следовательно, она такая же, как и в момент потери устойчивости, мы должны считать, что размеры области оболочки одинаковы, так как

а параметр определяется по указанной выше формуле.

Истинная форма оболочки при закритической деформации, сопровождающейся осевым сжатием определяется из условия минимума функционала в классе функций удовлетворяющих условию

Для решения этой вариационной задачи представляется целесообразным перейти к безразмерным переменным полагая

где обозначает осевое сжатие оболочки (т. е. . В новых переменных х, у, черту над которыми мы для

простоты записи опускаем, 1

Положим тетерь

Тогда получим

Как показано выше, в момент потери устойчивости оболочки имеем

Подставляя эти значения в выражение энергии деформации, получим

Здесь принято Положим

—1 —1 Тогда определение формы оболочки при закритической деформации сводится к нахождению функции реализующей минимум функционала при условии

Относительно функции для которой функционал достигает минимума, существенно заметить, что график

этой функции имеет точку перегиба при а в точках кривизна стационарна (рис. 18). Поэтому представляется естественным аппроксимировать этот график двумя параболами с вершинами на прямых расположенными симметрично относительно начала координат, и гладко примыкающим к ним прямолинейным отрезком (рис. 19). Функцию задаваемую этим графиком, мы будем характеризовать двумя параметрами

Рис. 18

Рис. 19

Величина это угловой коэффициент наклонных участков графика значение в нуле. Таким образом, при

Несложным рассмотрением показывается, что область допустимых значений параметра определяемая условием

будет

Также показывается, что значения К, характеризующие общую деформацию оболочки, ограничены, именно:

Для функции указанного вида имеем

а условие

переходит в связь между

Для определения минимума и значений при которых этот минимум достигается, были вычислены значения для различных I из указанного выше интервала

и значений к, не превосходящих 4/3. При этом оказалось, что при практически всегда получается при одном и том же значении . А так как значение в точке, где достигается минимум, стационарно, то, не совершая большой ошибки, можно принять, что минимум равен его значению при Тогда получим

Следовательно, энергия упругой деформации оболочки в состоянии равновесия равна

Обратимся теперь к работе А, производимой внешней нагрузкой Имеем

Вводя сюда вместо параметр К, согласно равенству

и замечая, что

будем иметь

Для оболочки, находящейся в состоянии упругого равновесия, имеем

Отсюда получается величина безразмерной нагрузки в зависимости от параметра характеризующего осевое

сжатие,

Напомним, что здесь, как и везде в аналогичных случаях, параметр нельзя брать сколь угодно малым, так как он характеризует деформацию, которая предполагается значительной.

Рис. 20

Графически зависимость от X представлена на рис. 20. Мы видим, что воспринимаемая оболочкой нагрузка после потери устойчивости падает. Наименьшее значение

Таким образом, нижняя критическая нагрузка для цилиндрической оболочки при осевом сжатии определяется по формуле

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление