Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Энергия закритической деформации цилиндрической оболочки

Как показывает опыт, круговая цилиндрическая оболочка, шарнирно опертая по краям, при равномерном осевом сжатии после потери устойчивости в средней части имеет периодическое строение в окружном направлении и по высоте (см. рис. 22). В связи с этим мы будем приближать форму оболочки в закритической стадии поверхностью которая была построена в п. 1.

Рис. 17

Проведем через соседние вершины кривой у, задающей поверхность плоскости, перпендикулярные оси призмы. При этом выделяется пояс поверхности Пусть высота этого пояса. Проведем далее полуплоскости от оси призмы через соседние боковые ребра. Они вырезают из пояса область шириной (рис. 17). Найдем энергию деформации оболочки исходя из ее приближения поверхностью

Энергия деформации в области состоит из двух частей: -энергии деформации по основной поверхности и -энергии деформации вдоль ребра. Энергия определяется изгибом исходной цилиндрической формы в форму всюду кроме ребра у. На единицу площади поверхности она определяется по формуле

Здесь и -главные изменения нормальных

кривизн при указанной деформации поверхности, жесткость оболочки на изгиб, т. е.

где -толщина оболочки, -модуль упругости, коэффициент Пуассона.

Для нормальных кривизн и исходной цилиндрической поверхности имеем

По соответствующим направлениям нормальные кривизны поверхности равны

(Нормальные кривизны в смежных радиальных нормальных сечениях поверхности, образующих угол равны по величине, но противоположны по знаку. Этим объясняется двузначность в выражении Таким образом, при рассматриваемой деформации поверхности

Отсюда

Выполняя интегрирование по у, получим

где -длины отрезков образующих поверхности в области разделяемые ребром у. При большом

Поэтому

Выполняя интегрирование по частям и замечая, что у на концах интервала интегрирования равно нулю,

получим

Следовательно,

Энергия деформации вдоль ребра у определяется по формуле

где

Здесь кривизна кривой -угол между плоскостью ребра у и касательными плоскостями поверхности вдоль ребра; и -нормальные кривизны поверхности в направлении, перпендикулярном ребру, -нормальная кривизна исходной поверхности в соответствующем направлении, -нормальная кривизна исходной поверхности в направлении, соответствующем ребру. Интегрирование выполняется по дуге кривой у.

Найдем значение Нормальные кривизны равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому

и, следовательно,

Угол

По формуле Эйлера нормальная кривизна

где -угол, который составляет прямолинейная образующая исходной цилиндрической поверхности с направлением кривой, соответствующей по изометрии у, т. е.

Наконец, элемент дуги кривой у равен

Подставляя значения в формулу для получим

Вычислим Принимая во внимание выражения для и

получим

Полная энергия деформации по области получается сложением величин

Области расположенные между двумя плоскостями, проходящими через смежные вершины ребра у перпендикулярно оси призмы, образуют кольцевой пояс высотой . В дальнейшем нам будет удобно рассматривать не всю оболочку, а этот пояс. Энергия деформации оболочки внутри указанного пояса получается умножением энергии деформации в области на число областей внутри пояса, т. е.

Найдем осевое сжатие при изометрическом преобразовании кругового цилиндра в поверхность Возьмем на цилиндре область расположенную между двумя сечениями, перпендикулярными оси и отстоящими друг от друга на расстоянии Изометричная ей область на поверхности ограничена двумя плоскостями,

перпендикулярными оси призмы и отстоящими друг от друга на некоторое расстояние Осевое сжатие, о котором идет речь, есть разность

Высота о пояса на цилиндре, как показано выше, равна длине кривой у на поверхности Следовательно,

где интегрирование выполняется по высоте пояса поверхности и

Предполагая, как и раньше, малым, можем записать

Отсюда

Зная осевое сжатие оболочки, без труда находим работу, производимую внешней нагрузкой Именно:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление