Главная > Разное > Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. ЗАКРИТИЧЕСКИЕ УПРУГИЕ СОСТОЯНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ

1. Специальные изометрические преобразования цилиндрической поверхности

Согласно вариационному принципу А, исследование закритических упругих состояний оболочек сводится к рассмотрению вариационной задачи для функционала определенного на изометрических преобразованиях исходной формы. Имея в виду эту задачу для цилиндрических оболочек, мы рассмотрим сначала изометрические преобразования цилиндрических поверхностей.

Рис. 12

Опыт показывает, что закритическая деформация геометрически совершенной цилиндрической оболочки при осевом сжатии обладает определенной правильностью строения. Именно: наблюдается отчетливая периодичность формы деформированной поверхности в окружном направлении. В связи с этим мы рассмотрим изометрические преобразования цилиндрической поверхности, обладающие указанной правильностью строения.

Возьмем правильную призму с четным числом сторон и проведем на одной из ее боковых граней произвольную гладкую кривую однозначно проектирующуюся на ось призмы (рис. 12). Отразим кривую зеркально в плоскости проходящей через боковое ребро грани и ось призмы. При этом получится кривая лежащая в боковой грани смежной с Затем аналогично строим кривую 72 в грани смежной с Так в каждой грани построим кривую

Проведем теперь через кривые и 72 цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными плоскости Аналогично построим цилиндрические

поверхности Поверхности составляют трубчатую поверхность всюду гладкую, кроме ребер Утверждается, что построенная таким образом поверхность изометрична цилиндру.

Для того чтобы это доказать, покажем сначала, что поверхность локально изометрична плоскости, т. е. что каждая точка этой поверхности имеет окрестность, изометричную куску плоскости. Это очевидно для точек, не лежащих на ребрах поверхности. Рассмотрим точки на одной из кривых например

Рис. 13

Отразим поверхность зеркально в плоскости грани Полученная при этом поверхность является продолжением поверхности за край в виде цилиндрической поверхности. Поверхность, составленная из как цилиндрическая, вдоль кривой локально изометрична плоскости. Отсюда следует, что вдоль этой кривой поверхность, составленная из а следовательно, и тоже локально изометрична плоскости.

Приведенная конструкция позволяет без труда заключить также, что замкнутая ломаная у, составленная из прямолинейных образующих поверхностей т. е. пересечение поверхности с плоскостью, перпендикулярной оси призмы, является замкнутой геодезической. Двух приведенных соображений (о локальной изометрии плоскости и замкнутых геодезических) достаточно для того, чтобы заключить об изометрии поверхности круговому цилиндру.

Определим радиус цилиндра, изометричного поверхности Для этого рассмотрим пересечение поверхности с плоскостью, перпендикулярной оси призмы. Как было указано, получаемая при этом замкнутая ломаная у является геодезической, и, следовательно, ее длина связана с радиусом цилиндра соотношением

Ломаная у вписана в правильный -угольник по которому плоскость, в которой лежит у, пересекает боковую поверхность призмы (рис. 14). Так как стороны у со сторонами многоугольника образуют равные

углы то независимо от формы ломаная у имеет всегда одни и тот же периметр равный периметру правильного -угольника с вершинами в серединах сторон многоугольника Теперь не составляет труда найти периметр ломаной у, а следовательно, и радиус цилиндра, изометричного поверхности

Рис. 14

Приведенное соображение позволяет сделать важный вывод. Именно: радиус цилиндра, изометричного не зависит от того, какова была взята кривая у на грани призмы при построении поверхности

Проведем через ось призмы и одно из ее боковых ребер плоскость. Она пересечет поверхность по некоторой кривой у. На поверхности кругового цилиндра, которому изометрична поверхность кривой у по изометрии соответствует прямолинейная образующая. Следовательно, длина кривой у равна высоте цилиндра, изометричного и не зависит от того, через какое из боковых ребер проведена секущая плоскость, определяющая кривую у.

Предположим теперь, что кривая на боковой грани с помощью которой описанной выше конструкцией получается поверхность произвольным образом деформируется, но так, что длина кривой у сохраняется. При этом поверхность также деформируется. И так как радиус и высота цилиндра, изометричного не изменяется, то эта деформация есть геометрическое нзгибание. С помощью такого изгибания мы будем приближать упругую деформацию цилиндрической оболочки в закритической стадии.

В связи с применением принципа А к исследованию закритических упругих состояний цилиндрических оболочек при осевом сжатии нам предстоит рассматривать функционал

на множестве всех изометрических преобразований цилиндрической поверхности, обладающих периодичностью строения. Если в качестве кривой у, с помощью которой

строится описанным выше способом поверхность взять периодическую кривую, то поверхность будет обладать такой же периодичностью. Но возникает вопрос, всякая ли изометричная цилиндру поверхность, обладающая периодичностью строения, может быть построена таким способом? Покажем, что это действительно так.

Пусть некоторая поверхность обладает периодичностью строения по высоте и в окружном направлении. Требуется показать, что она получается описанной выше конструкцией. Сохраняя преемственность обозначений, назовем одну из радиальных плоскостей симметрии поверхности (рис. 15). Эта плоскость пересекает поверхность по некоторой кривой у. Пусть произвольная точка на этой кривой. Так как поверхность развертывающаяся, то через каждую ее точку, в частности через точку проходит прямолинейная образующая Если предположить для простоты, что поверхность не содержит плоских кусков, то прямолинейная образующая проходящая через точку будет единственной.

Рис. 15

В силу симметрии поверхности относительно плоскости прямолинейная образующая будучи единственной, лежит либо в плоскости либо перпендикулярна этой плоскости. Первая возможность исключается, так как в противном случае переход цилиндрической поверхности в поверхность не сопровождается осевым сжатием. Таким образом, прямолинейные образующие поверхности в точках линии у должны быть перпендикулярны плоскости следовательно, параллельны друг другу. А это значит, что поверхность вблизи линии у должна быть цилиндрической поверхностью, с образующими, перпендикулярными плоскости симметрии Такое же строение имеет поверхность с противоположной стороны вблизи линии

Поскольку поверхность имеет плоскостей симметрии, то она должна состоять из цилиндрических поверхностей с образующими, перпендикулярными этим плоскостям. Будучи так устроена, поверхность должна иметь особые линии — ребра. Пусть у — одно из таких ребер, цилиндрические поверхности, которые

пересекаются по этому ребру (рис. 16). Так как поверхность локально изометрична плоскости, то поверхности не могут быть совершенно произвольными. Установим связь между ними.

Рис. 16

Пусть у — пересечение поверхности с плоскостью симметрии перпендикулярной ее образующим. Кривая у является геодезической линией. Будем характеризовать положение произвольной точки кривой у расстоянием этой точки от у по образующей дуга вдоль . Так как поверхность локально изометрична плоскости, то сумма геодезических кривизн линии у на поверхностях должна быть равна нулю. При заданной поверхности и направлении образующих поверхности это условие дает некоторое дифференциальное уравнение второго порядка для функции

Из единственности решения этого уравнения следует, что кривая у определяется однозначно (на поверхности если задана какая-нибудь ее точка и направление в ней.

Ввиду периодичности строения поверхности по высоте, на линии у найдется такая точка в которой касательная к ней параллельна оси поверхности (осью мы называем прямую, по которой пересекаются плоскости симметрии). Проведем через точку плоскость а, параллельную оси поверхности, так, чтобы образующие поверхностей исходящие из точки составляли равные углы с плоскостью а и располагались по одну ее сторону. Пусть у — кривая, по которой плоскость а пересекает поверхность и ее продолжение за кривую у. Кривая у удовлетворяет уравнению Соответствующая поверхность строится зеркальным отражением в плоскости а той части поверхности и ее продолжения, которая находится за кривой у. Так как кривые имеют общую точку и общее направление в ней, то они совпадают. Отсюда следует, что поверхность получается описанной выше конструкцией. Плоскость а является одной из граней призмы.

В связи с вычислением функционала

на изометрических преобразованиях исходной поверхности оболочки, определим некоторые величины для построенной, изометричной цилиндру поверхности

Обозначим а одну из граней призмы, в которую вписана поверхность Ребро этой поверхности, лежащей в грани а, обозначим у. Проведем через ось призмы и боковое ребро грани а плоскость и пересечение ее с поверхностью обозначим у. Кривая у представляет собой нормальное сечение поверхности перпендикулярное образующим.

Введем в плоскости грани а прямоугольную декартову систему координат приняв за ось прямую, параллельную боковым ребрам грани и проходящую посредине между ними, а за ось у — прямую, перпендикулярную оси Пусть в этих координатах ребро у поверхности задается уравнением

В плоскости также введем прямоугольную декартову систему координат, приняв за оси х и у проекции осей координат, введенных в плоскости а. В этих координатах нормальное сечение у поверхности задается уравнением

Мы будем предполагать достаточно большим, и поэтому можно считать

По известной формуле кривизна ребра у поверхности равна

Нормальная кривизна поверхности в сечении, перпендикулярном образующим,

Предполагая большим, мы опустим член у в знаменателе этой формулы. Тогда получим

Или, вводя вместо функцию у,

Определим угол который образует плоскость ребра V поверхности с касательными плоскостями. С этой целью систему координат в плоскости дополним до пространственной системы координат . В такой системе координат угловые коэффициенты плоскости ребра у, т. е. плоскости а, будут угловые коэффициенты касательной плоскости поверхности будут Угол между плоскостями равен углу между векторами Отсюда для угла 8 при большом получается следующее значение:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление