Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Несимметричные возмущения

37. Иногда нас будут интересовать несимметричные возмущения симметричной матрицы, и соответственно мы изучим систему собственных значений где А симметрична, а В нет. Из (30.6) мы знаем, что каждое собственное значение лежит по крайней мере в одном из кругов

и так как можно взять ортогональной, то

Мы знаем, далее, что если из этих кругов образуют связную область, изолированную от остальных, то в этой области находятся ровно собственных значений. Эти результаты, очевидно, справедливы для всех нормальных матриц.

В случаях вещественных симметричных матриц матрица В обычно вещественна, и, следовательно, каждое комплексное собственное значение должно встречаться в сопряженной паре. Если круг изолирован и содержит лишь одно собственное значение. Это собственное значение поэтому должно быть вещественным. Следовательно, если все собственные значения А отделены более чем на то случайное несимметричное возмущение в каждом элементе, по модулю меньшее оставляет собственные значения вещественными и простыми, и, следовательно, собственные векторы также вещественны и образуют полную систему.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление