Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Свойства спектрального числа обусловленности

31. Так как матрица не единственна (даже если собственные значения различны, каждый столбец может быть умножен на произвольный множитель), будем считать, что спектральное число обусловленности А по отношению к проблеме собственных значений — это наименьшее

значение к для всех допустимых . В любом случае имеем

Если А — нормальная (гл. 1, § 48) и, в частности, если она эрмитова или унитарная, мы можем взять унитарной, и тогда

Проблема собственных значений всегда поэтому хорошо обусловлена для нормальных матриц, хотя это не обязательно справедливо для проблемы собственных векторов.

Рассмотрим теперь соотношение между к и величинами которые управляют чувствительностью отдельных собственных значений. Нормированные правые и левые собственные векторы, соответствующие имеют вид

Следовательно,

и мы имеем

что дает

С другой стороны, мы можем взять столбцы в виде и строки в виде и при таком выборе

Для полного знания чувствительности собственных значений А по отношению к возмущениям ее элементов нам требуется величин так как чувствительность отдельных собственных значений по отношению к возмущениям отдельных элементов А может меняться в широких пределах. Такой большой агрегат невозможно применять в практической работе. Подходящим компромиссом будет введение чисел и мы будем называть их числами обусловленности матрицы А по отношению к проблеме собственных значений. Надо, однако, заметить, что для того, чтобы найти приближенное значение к на практике мы обычно должны вычислить систему приближенных собственных векторов. Получив их, легче получить приближения к отдельным чем приближение к к

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление