Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Ограничения теории возмущений

26. Несмотря на то, что теория возмущений, развитая нами в §§ 14— 25, имеет большое практическое значение, целесообразно на данной стадии обратить внимание на некоторые ее недостатки. Мы изучали природу возмущений при Рассмотрим простую матрицу

Эта матрица имеет нелинейный элементарный делитель и если мы добавим возмущение к элементу в позиции (2,1), то собственные значения станут Производные по этих собственных значений поэтому стремятся к бесконечности при , стремящемся к нулю. Однако, если мы интересуемся возмущениями порядка этого можно избежать. Если возмущающая матрица имеет вид

гораздо естественнее рассматривать эту проблему в виде возмущения

матрицы

и эта последняя матрица уже не имеет нелинейного элементарного делителя.

Рассматривая собственные векторы, мы раскладывали их возмущения на компоненты в направлениях Когда ортогональны,

это вполне удобно, но если некоторые из линейно зависимы, то мы можем получить большие компоненты в направлении отдельных даже если вектор возмущения сам по себе мал. Мы видели в § 10, что возмущение, соответствующее простому собственному значению имеет вид

и, следовательно, можем ожидать, что, вообще говоря, если мал, то компонента в направлении велика. Однако, как это может ввести в заблуждение, показывает пример матрицы

Легко показать, что

Однако вектора, соответствующий без сомнения нечувствителен к возмущениям матрицы. Два же вектора почти одинаковы (так же, как и а множители и почти одинаковы по модуля и противоположны по знаку. Поэтому возмущения в направлениях почти погашаются.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление