Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Теоремы Гершгорина

13. При этом новом подходе нам потребуются две теоремы, доказанные Гершгориным (1931).

Теорема 3. Любое собственное значение матрицы А лежит по крайней мере в одном из кругов с центрами и радиусами

Доказательство весьма просто. Пусть X — любое собственное значение А. Тогда есть по крайней мере один ненулевой х такой, что

Предположим, что наибольший модуль имеет компонента х. Можно нормировать х так, что

где

Приравнивая компоненты (13.1), получим

Следовательно,

и X лежит в одном из наших кругов.

Вторая теорема дает более детальную информацию относительно распределения собственных значений по кругам.

Теорема 4. Если кругов теоремы 3 образуют связную область, изолированную от остальных кругов, то в этой связной области находится ровно собственных значений матрицы А.

Доказательство основано на понятии непрерывности. Положим

где С — матрица, недиагональные элементы которой равны соответствующим элементам А, а диагональные равны нулю, и определим величины соотношениями

Рассмотрим теперь матрицы для значений

При это матрица а при матрица А. Коэффициенты характеристического полинома суть полиномы от , и по теории алгебраических функций корни характеристического полинома являются непрерывными функциями По теореме 3 при любом значении все собственные значения лежат в кругах с центрами и радиусами и если мы меняем непрерывно от до 1, все собственные значения меняются непрерывно.

Без ограничения общности мы можем считать, что именно первые 5 кругов образуют связную область. Тогда, так как остальные кругов с радиусами изолированы от кругов с

радиусами это же верно для соответствующих кругов с радиусами для всех из промежутка [0, 1). Но при собственные значения равны и первые 5 из них лежат в области, соответствующей первым кругам, а остальные лежат вне этой области. Отсюда следует, что это же верно для всех 8, включая

В частности, если какой-либо из кругов Гершгорина изолирован, то он содержит точно одно собственное значение. Заметим, что аналогичный результат можно получить, рассматривая вместо А.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление