Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Возмущения первого порядка собственных значений

8. Сейчас мы выведем точное выражение для возмущения первого порядка в терминах Сначала введем величины которые будут часто использоваться в дальнейшем. Они определяются соотношением

где нормированные левые и правые векторы. Если вещественны, то есть косинус угла между этими векторами.

Если имеются кратные собственные значения, соответствующие не будут однозначно определены. В этом случае предполагаем, что которые мы используем, соответствуют некоторому выбору Даже когда соответствуют простому они определены с точностью до комплексного множителя, равного по модулю единице, но в этом случае величина будет полностью определена. В любом случае имеем

Определим также величины соотношениями

Так как мы имеем

9. По определению

и так как и все компоненты представляются сходящимися степенными рядами, мы можем приравнять члены при одинаковых степенях в этом уравнении. Приравнивая коэффициенты при и используя (5.5) и (7.5), получим

или

Умножая слева на и помня, что получим

и, следовательно, из (8.4)

При достаточно малом главный член в возмущении равен так что чувствительность этого собственного значения в первую очередь зависит от К сожалению, могут быть произвольно малыми.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление