Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Уточнение собственных векторов

66. Если собственные векторы В равны то собственные векторы А суть Следовательно, для получения собственных векторов А достаточно определить собственные векторы Вычисление этих собственных векторов и определение границы для ошибок лишь немногим более сложно, но так как запись значительно более громоздкая, мы ограничимся показом этой техники на численном примере. Предположим, что мы имеем

С помощью техники для собственных значений мы можем показать, что первое собственное значение удовлетворяет условию

Пусть — соответствующий собственный вектор, нормированный так, что его элемент, наибольший по модулю, равен единице. Эта компонента

обязательно должна быть первой, так как если мы предположим, что это вторая (или третья), то второе (или третье) уравнение немедленно приведет к противоречию.

Если мы положим то второе и третье уравнения дают

Так как эти уравнения вместе с (66.2) дают

причем мы использовали весьма грубые оценки. Аналогично

Используя эти грубые оценки, мы можем вернуться к уравнениям (66.3), (66.4) и получить более близкое приближение к Будет проще, если мы перепишем (66.3) в виде

где а и с порядка единицы, и элементы показывают неопределенность в коэффициентах. Из (66.7) имеем

и мы уже знаем, что лежит между Взяв наиболее неблагоприятную комбинацию знаков, получаем

Аналогично

Следовательно, мы получили границы ошибок, которые меньше для каждой компоненты первого собственного вектора.

Вычисление собственных векторов на настольной вычислительной машине не особенно длинно, но оно настолько неприятно, что мы вычислили только первый собственный вектор. Мы даем первый собственный вектор и для В и для А, с границами ошибок для каждого. Границы для ошибок в компонентах векторов не больше, чем единицы девятого десятичного знака, и можно ожидать, что они существенно завышены. На самом деле максимальная ошибка в любой компоненте не превосходит двух единиц десятого знака. Но весьма трудно получить такие точные оценки без усложненного анализа ошибок. На вычислительной машине типа которая имеет 48 двоичных разрядов, потеря нескольких двоичных разрядов из 96 сравнительно несущественна. Предельные оценки, как правило, значительно более точные, чем мы обычно требуем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление