Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Общая оценка методов, основанных на прямых итерациях

46. Сейчас можно оценить методы, основанные на итерациях с А или Основная слабость этих методов состоит в ограниченной скорости сходимости. Их главное достоинство в простоте и в том, что они сохраняют все преимущества матриц, имеющих много нулевых элементов, при условии, что не производится явное исчерпывание.

Мне кажется, что наиболее частое поле их приложения — это определение небольшого числа алгебраически наибольших или наименьших собственных значений и соответствующих собственных векторов больших матриц, имеющих много нулевых элементов. Для очень больших редких матриц они обычно являются единственными возможными методами, так как методы, использующие приведение матриц к некоторому специальному виду, обычно нарушают присутствие нулей и требуют непозволительно много времени. Если ненулевые элементы матрицы, имеющей много нулей, определяются каким-либо систематическим способом, часто можно избежать запоминания матрицы и по мере надобности строить ее элементы в теченрш каждой итерации. Если нужно определить более, чем один собственный вектор, то исчерпывание надо производить не явно, а так, как в § 30.

Методы, в которых используется несколько векторов (или даже полная система векторов), имеют большое теоретическое значение из-за их связи с LR- и -алгорифмами. На практике редко встречаются ситуации, когда их применение может быть рекомендовано, хотя если известно (или ожидается), что имеются нелинейные элементарные делители, они используются для вычисления соответствующих инвариантных подпространств с достаточной точностью.

Ожидалось, что они могли бы быть использованы для уточнения систем собственных значений и собственных векторов, определенных методами, связанными с преобразованиями подобия А, и вносящими, следовательно, ошибки округления. Однако, как мы уже указывали, стабильность лучших методов, использующих преобразования подобия, замечательна, в то время как большая стабильность методов, непосредственно использующих А, не так заметна, как это можно было бы ожидать. Я считаю, что метод, который мы обсудим в § 54, более пригоден для уточнения полной системы собственных векторов и собственных значений, чем ступенчатые итерации и родственные методы. Тем не менее я знаю по собственному опыту, что небольшие модификации алгорифма иногда существенно улучшают его эффективность; возможно, что это справедливо и для ступенчатых итераций, методов ортогонализации и биортогонализации.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление