Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Численная стабильность

44. В случае определения доминирующего собственного значения и собственного вектора метод возведения матрицы в степень весьма точен, особенно если скалярные произведения накапливаются. Интересно посмотреть, что случится, если собственному значению или собственным значениям с максимальным модулем соответствует более одного собственного вектора. Если мы положим

Каждый вектор можно выразить через векторы Следовательно, если, например, мы имеем вещественное доминирующее собственное значение с линейно независимыми собственными векторами, то все эти собственные векторы должны быть представлены в столбцах С другой стороны, если А имеет доминирующие собственные значения каждый столбец будет состоять из вектора, лежащего в подпространстве, порожденном двумя соответствующими собственными векторами. В любом случае собственные значения А получаются наилучшим образом при применении простого степенного метода к линейно независимым векторам-столбцам

Так как при образовании высоких степеней А разделение собственных значений улучшается, на первый взгляд кажется привлекательным комбинировать возведение матриц в степень с простым степенным методом и исчерпыванием. При таком комбинировании мы можем вычислить для сравнительно небольших и затем осуществить простые итерации, используя Недостатком такого способа является то, что собственные значения с меньшим модулем сравнительно слабо представлены

в В самом деле, имеем

где используется для обозначения ошибок округления. Если то член меньше ошибок округления уже при и из нельзя получить ни одного знака для и Однако комбинирование шагов возведения матрицы в квадрат и затем простых итераций часто является наиболее экономичным способом нахождения доминирующего собственного значения. В случае, когда несколько других собственных значений близки к доминирующему собственному значению, они могут быть довольно точно найдены из использованием простых итераций и исчерпывания. Так, например, если собственные значения матрицы в убывающем порядке равны

то при шести шагах возведения матрицы в квадрат все собственные значения, за исключением первых трех, фактически пропадут. Первые станут соответственно. Три соответствующих собственных вектора полностью представлены в и могут быть получены простыми итерациями и исчерпыванием. Так как собственные значения теперь сравнительно хорошо разделены, требуется лишь несколько итераций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление