Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Процесс уточнения Ричардсона

42. Ричардсон (1950) описал процесс, который можно использовать для нахождения собственных векторов, если известно хорошее приближение к собственным значениям. Результат основывается на следующем. Если собственные значения известны точно и если

— произвольный вектор, то

а все остальные компоненты исключены. Следовательно, мы можем по очереди определить все собственные векторы. Если вместо точного значения у нас есть хорошее приближение то предварительное умножение справа на значительно уменьшает компоненту по

Несмотря на то, что метод кажется весьма сильным, его прямое применение разочаровывает. Рассмотрим определение для матрицы, имеющей собственные значения Предположим, что и что вычисления могут быть выполнены точно. Если мы умножим слева произвольный вектор и на

все компоненты исчезнут, кроме компонент по и по которые станут

и

соответственно. Компонента по действительно возрастает относительно компоненты по больше чем в 104 раз. Если мы сначала выполним три итерации с то это уменьшит компоненту по в 1030 раз, если выполнять действия точно, но из-за ошибок округления каждая компонента не сможет стать значительно меньше, чем Если собственные значения известны с хорошей точностью, то часто можно определить такие что и дает точный но, вообще говоря, круг приложимости метода Ричардсона довольно узок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление