Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Исчерпывание при помощи неподобных преобразований

29. Для случая, когда мы определили один собственный вектор Виландт описал общую форму исчерпывания, которое не является преобразованием подобия. Предположим, что какой-либо вектор такой, что

Рассмотрим матрицу

Имеем

и, следовательно, все еще является собственным вектором, но соответствующее собственное значение равно нулю. С другой стороны,

Следовательно, выбирая видим, что остается собственным значением, и соответствующий собственный вектор равен

Заметим, что векторов линейно независимы. Действительно, если

то так как линейно независимы, и, следовательно, также равен нулю.

Исчерпывание Хотеллинга (§ 19) является частным случаем этого, в котором взято равным где — левый собственный вектор, нормированный так, что Так как собственные векторы в этом случае остаются прежними.

30. В общем процессе мы мысленно предполагали, что и хотя этого можно всегда достигнуть при помощи сдвига, это неприятная черта метода. Рассмотрим следующую матрицу:

Вектор подходит, и мы имеем

Матрица имеет квадратичный делитель и гораздо более плохо обусловлена, чем А.

Предположим теперь, что некоторый вектор, для которого

Имеем так что — подходящий вектор в качестве в (29.1). Если мы возьмем этот вектор, то процесс Виландта дает

При этом собственные векторы таковы:

и нулевое значение для не играет теперь особой роли. Можно прямо проверить, что суть действительно собственные векторы Ясно, что это не преобразование подобия, так как вообще говоря, меняется.

Если нормирован так, что и если единичный элемент находится в позиции 1, естественным выбором для является вектор Тогда

Ясно, что строка 1 матрицы нулевая и строка матрицы получена из строки матрицы А вычитанием строки 1, умноженной на Следовательно, имеет те же самые элементы в матрице порядка из правого нижнего угла, что и матрица при исчерпывании в § 22. Так как имеет нулевую строку 1, все собственные векторы, соответствующие имеют нулевую компоненту в позиции 1. С другой стороны, это очевидно и из того, что эти собственные векторы имеют вид Ясно, что мы можем опустить столбец и 1-ю строку при итерировании с и работать только с матрицей порядка.

Дальнейшее обсуждение упростится, если мы предположим, что ибо необходимые изменения, если тривиальны. Исчерпанная матрица тогда имеет вид

Обозначим собственные векторы через где имеют нулевую первую компоненту. Если уже найден, мы можем выполнить второе исчерпывание и снова для простоты будем считать, что Следовательно,

имеет нулевые строки 1 и 2.

Вообще говоря, процесс исчерпывания удобно осуществлять явно для получения матриц или по крайней мере соответствующих подматриц порядка которые используются при итерациях. Однако если матрица А имеет много нулей (редкая), то это делать не экономно, так как последующие матрицы уже не будут, вообще говоря, иметь много нулей. Если требуется определить лишь несколько собственных векторов такой матрицы, то обычно лучше работать с исчерпанными матрицами в факторизованной форме типа (30.8). Например, мы знаем, что при итерировании с любой собственный вектор имеет равные нулю две первые компоненты. Следовательно, мы можем взять начальный вектор в такой форме, и это будет верно для всех Полагая вычислим

Ясно, что получается из вычитанием умноженного на соответствующий множитель такой, чтобы первая компонента исчезла.

Имеем

так что это ненормированный вектор, полученный из вычитанием умноженного на такой множитель, чтобы исчезла вторая компонента. Этот процесс можно использовать и в общем случае, когда мы

имеем Например, если то

нужно привести к виду при помощи процесса исключения, который работает со столбцами, а не со строками. Вектор затем нормируется и дает Мы увидим в § 34, что это почти точно процесс ступенчатых итераций Ф. Л. Бауэра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление