Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Численный пример

27. В табл. 1 мы показываем исчерпывание матрицы третьего порядка. Из приведенных здесь собственных значений и собственных векторов видно, что близки. Вектор принят в качестве собственного вектора и дает точное собственное значение и малый вектор невязки, несмотря на то, что он имеет ошибки во втором знаке. Вычисленная исчерпанная матрица имеет значительные расхождения с матрицей, которая получилась бы при точных вычислениях, но тем не менее оба верны с рабочей точностью. Вектор и является точным собственным вектором А и точное исчерпывание дает вычисленную Следовательно, собственные значения вычисленной совпадают с собственными значениями заметим, что и А очень близки.

Таблица 1 (см. скан)

Второе собственное значение определяется из подматрицы второго порядка вычисленной Так как она имеет два хорошо отделенных собственных значения, проблема нахождения ее собственных векторов хорошо обусловлена, и, следовательно, итерации ведут к точному собственному вектору Далее дана вычисленная и три вычисленных собственных вектора матрицы А. Вычисленный неточен, но это и ожидалось; его неточность нельзя полностью относить к процессу исчерпывания. Он не менее точен, чем вычисленный и это было получено использованием исходной матрицы. Однако вычисленные порождают свое подпространство точно. В самом деле, вычисленный согласуется с точным с рабочей точностью. Это следует из того, что вектор из подпространства имеющий нулевую первую компоненту, хорошо определен. С другой стороны, полученный, используя «очень неточное» исчерпывание, верен с принятой точностью. Это можно было ожидать, так как хорошо обусловленный собственный вектор, и ошибки, сделанные в первом исчерпывании, эквивалентны работе с вместо А Для получения по собственному вектору имеем

где а определяется приравниванием первых элементов Это дает

Заметим, что а определяется как отношение двух малых величин. Это неизбежно, если имеет близкие собственные значения, но не близка к матрице, имеющей нелинейные делители. В предельном случае, когда равны, но А имеет линейные делители, коэффициент при а (т. е. в точности равен нулю, что показывает, что а произвольно, как мы и могли ожидать. Если имеет квадратичный делитель, то не нуль, и, следовательно, и мы получаем только один собственный вектор. Вектор дает линейно независимый вектор в инвариантном подпространстве соответствующем квадратичному делителю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление