Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Численная устойчивость

26. Методы исчерпывания §§ 22 и 25 исключительно стабильны. Предположим, что принят в качестве собственного вектора и в качестве собственного значения. Мы можем опустить индекс и для простоты предположить, что наибольшим по модулю элементом является первый. Положим

и предположим, что мала по сравнению с Однако (53.6) гл. 3 и § 10 гл. 2 показывают, что это не означает, что и обязательно точен. Действительно, если существует более чем одно собственное значение, близкое к X, то и может быть очень неточным собственным вектором. Если мы положим

то

Используя обозначение для вычисленной матрицы после исчерпывания, имеем

где на самом деле вычислены лишь элементы При вычислениях с фиксированной запятой, например, имеем

что

где матрица с элементами Рассмотрим теперь матрицу определенную по вычисленной матрице следующим образом:

Вычисленная матрица имеет в точности те же самые собственные значения, что и и очевидно, что имеет X и в качестве точных собственного значения и собственного вектора. Мы можем поэтому сказать, что вычисленная матрица получена в результате нахождения точного собственного значения и точного собственного вектора матрицы с последующим выполнением точного процесса исчерпывания. Мы хотим сравнить Обозначим Тогда (26.1) дает

и. следовательно,

что дает, например,

Предполагая, что невязка мала, мы можем быть уверены, что собственные значения будут близки к собственным значениям (если они хорошо обусловлены), хотя может сильно отличаться от матрицы, которая получилась бы, если бы и был точным.

Если мы рассмотрим последовательность исчерпываний, то существует опасность, что элементы последовательных будут постоянно возрастать

но величине и могут становиться все более плохо обусловленными. Мы уже обращали внимание на такую возможность раньше, когда рассматривалась последовательность устойчивых неунитарных преобразований. В этом частном случае опасность, как кажется, меньше, чем обычно. Действительно, на последовательных этапах исчерпывания мы работаем только с матрицами из нижнего правого угла и обычно обусловленность улучшается с возрастанием даже если это неверно для . В качестве предельного примера рассмотрим имеющую квадратичный делитель. Если пренебречь ошибками округления, все должны иметь квадратичный делитель, но если мы по одному собственному значению найдем соответствующую то она уже не имеет квадратичного делителя. Следовательно, обусловленность оставшегося из пары собственных значений должна улучшиться!

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление