Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Исчерпывание при помощи устойчивых элементарных преобразований

22. Вернемся теперь к случаю, когда мы знаем один собственный вектор и хотим определить матрицу удовлетворяющую (20.1). Мы можем определить устойчивым способом как произведение вида причем считаем, что максимальный по модулю элемент находится в позиции 1. В предположении, что нормирован так, что процесс исчерпывания принимает следующий вид:

(i) Переставим строки 1 и 1 и столбцы 1 и 1 матрицы А

(ii) Переставим элементы 1 и 1 вектора и назовем полученный вектор у

(iii) Для всех значений от 2 до вычислим:

(iv) Для всех значений от 2 до вычислим:

На самом деле шаг (iv) не нужно выполнять, так как мы знаем, что 1-й столбец должен стать Таким образом, процесс исчерпывания требует только умножений. Заметим, что при таком исчерпывании из уравнения (20.4) состоит из элементов строки матрицы за исключением элемента а, переставленных очевидным образом. Заметим также, что даже если А симметрична, это, вообще говоря, неверно для

23. Пусть мы имеем «инвариантное подпространство» X, как в § 21, и хотим определить удовлетворяющую (21.2). Опять это можно осуществить весьма удобно, используя устойчивые элементарные преобразования. Соответствующая может быть определена как произведение

в котором матрицы совпадают с теми, которые можно было бы получить, осуществляя гауссово исключение с перестановками в матрице (Тот факт, что она имеет лишь столбцов вместо несуществен.) Очевидно.

мы имеем

где верхняя треугольная. Если перестановки не необходимы, имеет вид и если есть то (23.2) эквивалентно равенствам

Вычисление производится в шагов, причем в из них осуществляется преобразование подобия с матрицей Заметим, что нам не надо вычислять часть матрицы, обозначенную в (21.5), так как известно, что она должна быть нулем. Так как мы имеем полную информацию о перестановках перед началом процесса исчерпывания, то знаем, из каких строк и столбцов получается подматрица Легко организовать вычисления так, чтобы скалярные произведения вычислялись накоплением, как при определении (аналогично треугольному разложению с перестановками), так и при вычислении исчерпанной матрицы.

24. Наиболее часто ситуация использования инвариантных подпространств возникает в связи с комплексной парой собственных значений. Если мы используем метод § 12, то после того, как сходимость уже имеет место, любые два последовательных определяют инвариантное подпространство.

Если определен комплексный собственный вектор процесс исчерпывания имеет ряд интересных черт. Предположим, что нормирован так, что Пусть, например, имеем при

Первая перестановка дает

и в матрице имеем Приведение первого столбца х оставляет второй неизменным; он потом независимо приводится при помощи умножения слева на Итог таков, что мы трактуем как действительный собственный вектор и осуществляем одно исчерпывание, а затем считаем (с опущенным нулевым элементом) действительным собственным вектором исчерпанной матрицы и соответственно осуществляем следующее исчерпывание.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление