Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Процесс ускорения Эйткена

И. Эйткен (1937) описал процесс ускорения сходимости векторов, который иногда очень полезен. Предположим, что три последовательные итерации и что мы достигли стадии, на которой по существу уже равен где мало. Если нормированы так, что то для достаточно малых наибольший элемент будет на том же месте, что и у Предположим, что элемент на этом месте равен , так что Тогда для имеем

Рассмотрим теперь вектор а с компонентами:

где означает компоненту Подставляя (11.1) и обозначая после упрощений получим

что дает

Моячно было бы подумать, что так как числитель и знаменатель а содержат множитель то процесс серьезно зависит от ошибок округления; но это не так. Если имеют ошибки, которые обозначим то, пренебрегая множителем получим вместо (11.3)

Мы можем написать это в виде

откуда видно, что ошибки округления сравнительно несущественны.

Следовательно, если мы достигли стадии, в которой влияние всех собственных векторов, кроме уже исключено, то вектор, который дается процессом Эйткена, более близок к чем векторы, из которых он получен. Однако если плохо разделены, то может потребоваться много итераций, прежде чем компонента по будет мала по сравнению с компонентой по

Неожиданно трудно составить автоматическую программу, которая бы эффективно использовала процесс Эйткена. В ad hoc программе Национальной физической лаборатории использование процесса Эйткена контролировалось оператором. С помощью пульта он мог потребовать применения процесса в конце текущей итерации и, наблюдая за поведением итерированного вектора, мог оценить, был ли полезен процесс. Если

выигрыша не получалось, то использование процесса Эйткена для определения текущего вектора обычно блокировалось. Несмотря на трудности в осуществлении автоматического процесса, использование метода Эйткена имеет весьма большое значение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление