Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Сдвиг начала

4. Простейшие полиномы по А имеют вид Соответствующие собственные значения равны и если выбрать соответствующим образом, сходимость к собственному вектору может быть ускорена. Мы рассмотрим сначала случай, когда А и все вещественны. Ясно, что если то как бы мы ни выбирали доминирующим собственным значением будет либо либо Для сходимости к наилучшим значением будет и быстрота сходимости определится скоростью, с которой

стремится к нулю. Аналогично оптимальным выбором для сходимости к будет и быстрота сходимости определяется величиной Проанализируем сначала эффект от употребления специальных значений оставив проблему определения таких значений на будущее.

Для некоторых расположений собственных значений этот простой прием может быть весьма эффективным. Например, для матрицы шестого порядка с итерации без сдвига дают сходимость к со скоростью Если мы возьмем , то собственные значения станут , и мы все еще будем иметь сходимость к но со скоростью Для получения с определенной точностью требуется приблизительно в восемь раз больше итераций, чем при ускоренном варианте. Аналогично, если мы возьмем собственные значения станут , и мы получим сходимость к со скоростью

Довольно часто бывают такие неблагоприятные расположения собственных значений, для которых максимально достижимая таким приемом скорость сходимости неудовлетворительна. Пусть, например,

и мы хотим выбрать так, чтобы получить Оптимальный выбор это и скорость сходимости определяется величиной Для уменьшения относительной ошибки в векторе в раз требуется приблизительно 181 итерация. Весьма обычны расположения собственных значений, для которых при этом сходимость к медленная даже с оптимальным выбором

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление