Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Связь между LR- и QR-алгорифмами

51. -алгорифм и -алгорифм Холецкого очень тесно связаны. На самом деле, имеем

и, следовательно,

или

Но из (50.5) следует, что

Следовательно, мы имеем две факторизации Холецкого матрицы и так как они должны совпадать, находим

Из (50.3) имеем

а из уравнений, определяющих -алгорифм,—

Следовательно, матрица, полученная по -алгорифму Холецкого, равна матрице, полученной при использовании -алгорифма. (Этот результат несправедлив для несимметричных матриц, но он, возможно, демонстрирует большую силу

Наше доказательство справедливо как для положительно определенных матриц, так и для произвольных симметричных. (Конечно, мы требуем, чтобы они были неособенными, так как иначе треугольная факторизация не единственна.)

QR-алгорифм всегда дает вещественные матрицы, если вещественная, и, следовательно, -алгорифм Холецкого должен давать вещественные даже если комплексные. В случае матрицы (50.6) имеем

Еще более важным является тот факт, что -алгорифм сохраняет -норму и евклидову норму, и ни один элемент не может стать большим. Это неверно для -алгорифма Холецкого, если только не положительно определенная. Матрица может иметь сколь угодно большие элементы, но элементы обязательно должны вернуться к нормальным размерам. Пример неустойчивости приведен в табл. 4. Здесь значительно

Таблица 4

«больше Несмотря на то, что вычисленная вещественная, произошла полная потеря точности собственных значений. Для сравнения дана точная .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление