Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

QR-алгорифм

28. В соответствии с общей точкой зрения этой книги естественно попытаться заменить устойчивые элементарные преобразования в модифицированном LR-алгорифме элементарными унитарными преобразованиями. Это прямо приводит к -алгорифму Френсиса — Кублановской (1961). Вместо разложения в произведение треугольных здесь используется разложение в произведение унитарной матрицы и верхней треугольной

Алгорифм определяется соотношениями

так что на каждой стадии теперь используем унитарное преобразование подобия. Требуемая факторизация уже была обсуждена в гл. 4, §§ 46—55, и мы показали, что если неособенная, то эта факторизация по существу единственна, и она безусловно единственна, если мы возьмем диагональные элементы вещественными и положительными. Если вещественная, то вещественные. Эта факторизация имеет то преимущество, что обращение в нуль ведущего главного минора не вызывает нарушения алгорифма, как это было в обычном -разложении.

Последовательные итерации удовлетворяют соотношениям, похожим на соотношения, выведенные для -преобразования. Имеем

что дает

Поэтому все унитарно подобны и если положить

то

Следовательно,

так что дают соответствующую факторизацию Эта факторизация единственна, если диагональные элементы верхней треугольной матрицы положительны, и так будет для если это верно для всех

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление