Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Улучшенный выбор сдвига

24. Мотивировкой для улучшения правила выбора сдвига является рассмотрение случая, когда матрица вещественная, но имеет несколько комплексно сопряженных собственных значений. Мы знаем, что в этом случае предельная матрица не будет в точности верхней треугольной. Если собственные значения, имеющие наименьший модуль, суть комплексно сопряженная пара то итерации обязательно будут иметь вид (а) из (24.1)

где собственные значения матрицы второго порядка в нижнем правом, углу стремятся к соответствующим значениям. С другой стороны, если собственное значение, имеющее наименьший модуль, это вещественное X, то итерации примут вид из (24.1). Предположим, что мы сосчитали собственные значения матрицы второго порядка в обоих случаях. Тогда, в случае (а) они стремятся к в случае (6) наименьшее из двух стремится к Установив это, мы на некоторое время оставим случай, комплексно сопряженных собственных значений.

Для вещественных матриц с вещественными собственными значениями предлагаем следующий выбор Вычисляем собственные значения матрицы второго порядка в нижнем правом углу Если они комплексные и равны берем Если они вещественные и равны берем равным или в зависимости от того, что меньше: или

Если исходная матрица комплексная, то, вообще говоря, наша матрица второго порядка будет иметь два комплексных собственных значения снова наш выбор будет зависеть от сравнения

Мы можем применять сдвиг, определяемый таким образом, на каждом этапе или ждать, пока предложенный сдвиг не даст некоторого указания о сходимости. На практике поведение, по-видимому, не сильно зависит от этого решения. Наилучшие результаты были получены, когда предложенное значение принималось в качестве сдвига, если выполнялось условие

Оказалось, что в среднем скорость сходимости при использовании такой техники очень высокая. Этот метод использовался наиболее

интенсивнона матрицах с комплексными элементами. Стоит упомянуть, что такой выбор сдвига для матриц (23.1) дает сходимость в одну итерацию. Так как относящаяся к делу матрица второго порядка теперь полная, это не удивительно, но это наводит на мысль, что такой выбор сдвига может с успехом давать лучшее общее течение процесса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление