Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Выбор сдвига

21. На практике мы сталкиваемся с проблемой выбора последовательности которая давала бы быструю сходимость. Если модули всех собственных значений различны, то, независимо от того, вещественные они или комплексные, мы ожидаем, что стремятся к нулю и к соответственно. Следовательно, можно взять если начинает становиться «малым» или начинает стабилизироваться. На самом деле легко показать, что если порядка 8, и мы возьмем то имеем

При этом, например, для матрица — будет иметь вид (а) из (21.2):

Рассмотрим теперь приведение — к треугольному виду по методу Гаусса с перестановками. Когда приведение почти закончено и осталось привести лишь последнюю строку, текущая матрица имеет вид из (21.2). Элемент а в строке не будет малым, если только случайно не будет как-либо специально связан с ведущим главным минором порядка матрицы А, например, если сдвиг является собственным значением этого минора. Следовательно, на последнем шаге не потребуется перестановка, и мы имеем

и треугольная матрица поэтому будет иметь вид из (21.2).

Рассмотрим теперь правостороннее умножение. При умножении справа на все множители, кроме текущая матрица будет иметь вид (а) или из (21.4)

в зависимости от того, делалась или нет перестановка перед вычислением при приведении. Чтобы закончить умножение справа, мы прибавляем к столбцу умноженный на и не делаем никаких перестановок. Поэтому окончательно матрица будет иметь вид (а) или (Ь) из (21.5)

Следовательно, после восстановления сдвига имеем

так что конечно, сходится, и порядка что мы и хотели показать. Заметим, что любые перестановки, которые могут иметь место на других шагах приведения, играют малую роль.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление