Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Корневые векторы

39. Если матрица А имеет линейные элементарные делители, то существуют собственных векторов, на которые натянуто все -мерное пространство. Если А имеет нелинейные делители, то это неверно, так как существуют меньше чем линейно независимых собственных векторов. Тем не менее удобно иметь систему базисных векторов такую, чтобы она переходила в систему собственных векторов в случае, если А имеет линейные делители. Как мы видели, в последнем случае за собственные векторы могут быть взяты столбцы матрицы X такой, что

В случае нелинейных элементарных делителей естественно взять в качестве базиса столбцов матрицы X, приводящей А к жордановой канонической матрице.

Эти векторы удовлетворяют важным соотношениям. Достаточно продемонстрировать это на примере. Пусть матрица А 8-го порядка такая, что

Тогда, если столбцы X, то

откуда выводим, что

Каждый из этих столбцов X, следовательно, удовлетворяет соотношению вида

Вектор, удовлетворяющий уравнению (39.5), но не удовлетворяющий аналогичному соотношению с меньшим показателем при называется корневым вектором высоты соответствующим Заметим, что это минимальный полином относительно А. Любой собственный вектор — это корневой вектор высоты один и столбцы матрицы X — это все корневые векторы А. Так как столбцы X линейно независимы, то существует система корневых векторов, на которые натянуто все -мерное пространство. В общем случае базисная система корневых векторов не единственна, так как, если корневой вектор высоты соответствующий собственному значению то это же справедливо для вектора, который получен добавлением любых корневых векторов высот, не больших соответствующих тому же собственному значению и умноженных на произвольные множители. Для матрицы жордановой канонической формы векторы образуют полную систему корневых векторов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление