Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Метод деления отрезка пополам

37. Рассмотрим сначала ограничения для метода деления отрезка пополам, который используется для локализации простого вещественного собственного значения вещественной матрицы. Предположим, что мы нашли две точки a и b, в которых имеет противоположные знаки. Соответственно нашему вычислению при некотором

значении z мы нашли где А — вещественная, и

Для каждой из специальных форм мы дали оценки для 6.4, и для всех допустимых каждое соответствующее будет лежать в связной области, содержащей Можно назвать эту область областью неопределенности, связанной с Заметим, что эта область зависит от и алгорифма, используемого для вычисления Предположим, что достаточно, велико для того, чтобы область, содержащая была изолирована от остальных областей. В этом случае, конечно, все должны быть вещественными, а область, содержащая это интервал вещественной оси.

Типичная ситуация показана на рис. 4. Определяемое собственное значение есть оно остается вещественным при всех возмущениях 6.4, удовлетворяющих соответствующему условию.

Рис. 4.

Остальные собственные значения ведут себя следующим образом.

— двойное собственное значение, которое становится комплексно сопряженной парой при некоторых 6-4.

— близкие собственные значения, которые становятся комплексно сопряженной парой при некоторых 6.4.

- вещественные собственные значения, которые остаются вещественными.

- комплексно сопряженная пара, которая остается комплексно сопряженной парой.

Диаметр области, содержащей является мерой его обусловленности.

Пусть вычислялся в точках a и b, и мы получили положительное и отрицательное значения соответственно, независимо от расположения в их областях. Если мы теперь будем делить отрезок то будем получать верные знаки для любых точек деления, не лежащих в области, содержащей Следовательно, точно так же как в гл. 5, § 41, можно показать, что либо все интервалы деления действительно содержат либо, начиная с некоторой стадии, по крайней мере одна из граничных точек интервалов лежит в области, содержащей Если эта область есть интервал то очевидно, что после к шагов деления центр окончательного интервала деления лежит в пределах

Так как мы можем использовать произвольное число шагов, окончательным ограничением эметода того является размер интервала

Заметим, что мы вообще не можем ожидать, что вычисленные значения малых собственных значений будут иметь малую относительную ошибку. Нет никаких оснований ожидать, что области, содержащие малые корни, будут меньше, чем области, содержащие большие корни. Вообще в лучшем случае, мы можем ожидать, что область будет порядка если собственное значение хорошо обусловлено.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление