Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Теорема Кэли — Гамильтона

36. Так как А содержит элементов, то ясно, что минимальный полином А не может быть степени высшей чем Сейчас покажем, что если характеристическое уравнение А имеет вид

то

Это означает, что минимальный полином матрицы не может быть степени высшей чем

Чтобы это доказать, введем союзную матрицу В для матрицы А. По определению это матрица, элемент которой равен алгебраическому дополнению элемента коэффициенту при в разложении по его строке. Поэтому имеем

Этот результат справедлив для любых матриц, а, следовательно, и для матрицы Союзная для матрица это -матрица каждый элемент которой есть полином степени или меньшей, так как он является минором порядка матрицы Мы можем написать

где матрицы -го порядка с постоянными элементами. Применяя результат (36.3) к получим

Это соотношение есть тождество по Я, и, приравнивая коэффициенты при степенях X, получим

Умножая эти уравнения на и складывая, имеем

Каждая квадратная матрица поэтому удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению. Этот результат известен как теорема Кэли — Гамильтона. Отсюда следует, что характеристический полином делится на минимальный полином, и поэтому степень минимального полинома не больше

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление