Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Метод Лагерра

28. Более интересная формула, также дающая кубическую сходимость в окрестности простого корня, принадлежит Лагерру, который развивал свой метод в связи с полиномами, имеющими только вещественные нули. Она основана на следующем.

Пусть имеет вещественные нули и пусть х лежит между Если х лежит вне интервала то вещественную ось можно рассматривать как замкнутую в бесконечно удаленной точке и говорить, что х лежит между Рассмотрим теперь полином второй степени по X, определенный при всех вещественных и,

Очевидно, что если и то

Следовательно, для всех вещественных и функция имеет два нуля и таких, что

(Если х лежит вне интервала то X лежит «между» а лежит «между» Можно рассматривать как лучшйе приближения двух корней, окружающих х, чем само х. Рассмотрим теперь наименьшее значение X и наибольшее достижимые при всех возможных вещественных и. Вообще говоря, максимум и минимум будут достигаться при различных значениях и. Для экстремальных значений

имеем Если положить где функции X, то для экстремальных значений корней получим

(так как потому что что дает Легко проверить, что обращение в нуль дискриминанта действительно даст экстремальные значения. Замечая, что

так что мы видим после простых преобразований, что соотношение приводится к виду

Соответственно Лагерр дает два значения

одно из которых ближе к а другое к Хотя обоснование применимо только к полиномам с вещественными нулями, можно сразу же распространить этот результат на комплексную плоскость, что приводит к следующему итерационному процессу:

В окрестности простого корня из (28.9) можно получить, что если мы выберем знак так, что знаменатель имеет наибольшую абсолютную величину, то

где

Поэтому в окрестности простого корня сходимость будет кубическая. Интересно, что при установлении кубического характера сходимости не используется то, что число входящее в формулу (28.9), есть степень так что процесс кубически сходится при всех

С другой стороны, если корень кратности можно проверить, что (28.9) дает

так что сходимость просто линейная.

Легко модифицировать (28.9) так, чтобы получить кубическую сходимость в окрестности корня кратности Соответствующая формула имеет вид

и она переходит в (28.9) при . К сожалению, нужно уметь находить кратность определяемого корня для того, чтобы использовать преимущества этой формулы.

Очевидно, что в случае, когда все корни вещественны, выбор определенного знака в формуле (28.9) дает монотонную последовательность, стремящуюся к одному из корней, в окрестности исходного приближения. Здесь нет аналогии с полиномами, имеющими комплексные корни.

Снова, если мы предположим, что вычисление значений сравнимо с вычислением значений два шага любого из этих кубически сходящихся процессов должны сравниваться с тремя шагами процесса Ньютона. Для двух шагов кубически сходящегося процесса имеем

а для трех шагов метода Ньютона

Поэтому метод Ньютона хуже, если рассматривать асимптотическое поведение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление