Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Метод Ньютона

25. Анализ §§ 21—23 касался только предельной скорости сходимости, и мы рассмотрели детально только случай корней кратности один и два. Кроме того, мы пренебрегали ошибками округления. Но, вообще говоря, трудно начать итерационный процесс с хороших приближений к корню, а вычисленные значения всегда будут подвержены влиянию ошибок округления. Эти вопросы будут рассмотрены в §§ 59, 60 и §§ 35—47 соответственно после изучения других итерационных методов.

Рассмотрим теперь методы, в которых в дополнение к значениям функций используются значения производных. Наиболее известным является метод Ньютона, в котором приближение связано с соотношением

В окрестности простого корня а

где производные вычислены при Следовательно, мы имеем

что

Для двойного корня следовательно, из (25.3) следует

что

Аналогично можно показать, что для корня кратности

так что сходимость становится все медленнее вместе с ростом кратности. Очевидно, что для корня кратности поправка, сделанная на каждом

шаге, уменьшается на множитель Поэтому для таких корней (25.1) заменяется на

и (25.9) дает

К сожалению, мы обычно не имеем заранее информации о кратности нулей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление