Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Обращение функционального соотношения

23. Если имеет простой корень при то z может быть выражено в виде сходящегося степенного ряда по для достаточно малых Положим

Вместо приближений полиномами по z мы можем приближать z полиномами по (см., например, Островский (1960)). Общий случай достаточно хорошо иллюстрируется рассмотрением полиномов второй степени по Для приближающего полинома проходящего через точки выраженного в форме Лагранжа, имеем

Классическая теория приближения полиномами Лагранжа дает для ошибки выражение

где некоторая точка интервала, содержащего Взяв получим

Следовательно, если мы возьмем равным правая часть (23.4) даст нам выражение для ошибки. Из (23.2) имеем

Очевидно, что независимо от степени интерполяционного полинома, единственно. Более того, если вещественная функция и мы

начали итерации с вещественных значений, то все вещественны в противоположность нашей предыдущей технике, которая требует решения полиномиальных уравнений и, следовательно, делает возможным переход в комплексную плоскость.

Имеем

Следовательно, (23.4) дает

и, положив получим

Это соотношение имеет ту же форму, что и (21.16), и показывает, что в конечном счете

В общем случае, когда используются интерполяционные полиномы степени получим

Заметим, что если этот метод совпадает с методом последовательной линейной интерполяции, обсуждавшимся в § 20. При больше двух, получается мало преимуществ, так как мы видели в § 21, что в силу соотношения (23.10) предельная скорость сходимости никогда не достигает квадратичной, как бы велико ни было

Если а — корень кратности то

а можно представить в виде степенного ряда по степеням Очевидно, что в этом случае метод интерполяции будет значительно менее удовлетворителен.

По нашему опыту методы, описанные в этом параграфе, менее удовлетворительны для решения проблемы собственных значений, чем методы предыдущего параграфа. (С другой стороны, они оказались очень хороши для точного определения нулей функций Бесселя при условии хороших начальных приближений.) Поэтому в сравнении, которое мы будем делать в § 26, не будем обсуждать методов этого параграфа.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление