Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Асимптотическая скорость сходимости

21. Рассмотрим предельную скорость сходимости в окрестности корня Если положить

то

где через обозначены производные при Мы можем записать интерполяционный полином в терминах Полином порядка проходящий через точки имеет вид левой части уравнения

Подставляя из (21.2) и раскладывая по первой строке, получим

где в коэффициент при каждом включен только доминирующий член. Если достаточно малы, требуемое решение таково, что

Вид этого решения оправдывает а posteriori то, что в (21.4) опущены все члены, кроме доминирующих.

Для оценки асимптотического поведения представим (21.5) в виде

т. е.

что

Из теории линейных разностных уравнений известно, что решением (21.8) будет

где это корни уравнения

Это уравнение имеет один корень между 1 и 2, причем

Другие корней удовлетворяют уравнению и все они лежат внутри единичного круга, что можно увидеть, применив теорему Руше к функциям

Следовательно,

что

При имеем

а при

Асимптотическая скорость сходимости достаточно хороша в обоих случаях, но заметим, что большие значения К замедляют наступление предельной скорости сходимости. Так как меньше двух при всех значениях то, по-видимому, мало доводов за использование интерполяционных полиномов высокой степени, по крайней мере при рассмотрении асимптотической скорости сходимости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление