Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Дополнительные замечания

Несмотря на то, что правило выбора ведущего элемента было широко обсуждено в связи с методом Гаусса, его роль в преобразованиях подобия обсуждалась сравнительно мало: на самом же деле здесь это даже более важно. Если А имеет линейные элементарные делители, то мы имеем при некоторой X, и следовательно,

с любыми диагональными матрицами (Матрица дает только нормировку собственных векторов.) Мы хотим подобрать так, чтобы было как можно меньше; эта проблема соответствует уравновешиванию в случае обращения матрицы.

Бауэр (1963) дал глубокое обсуждение этой проблемы. На практике трудность состоит в том, что необходимо выбрать перед тем, как X определена. Поэтому проблема в некотором отношении более трудная, чем проблема уравновешивания А для обращения матрицы. Осборн (1960) обсуждал эту проблему с более эмпирической точки зрения. Снова, как и в случае проблемы обращения матрицы, нужно подчеркнуть, что необходимость уравновешивания не связана с использованием исключения с главным элементом. Его роль может быть столь же велика при использовании ортогональных преобразований.

Несмотря на то, что компактные схемы треугольной факторизации использовались давно, прямое приведение к форме Хессенберга, обсуждавшееся в §§ И и 12, выглядит новым. Оно впервые использовалось на в 1959 г. (включая применение перестановок); вычисления производились с использованием арифметики с двойной точностью и учетверенным накоплением скалярных произведений.

Обсуждение формальных аспектов обобщенных процессов Хессенберга в §§ 26— 35 основано на работе Хаусхолдера и Бауэра (1959). Метод Ланцоша (1950) обсуждался в большом количестве работ, в частности в статьях Брукера и Сумнера (1956), Козей и Грегори (1961), Грегори (1958), Россера и др. (1951), Рутисхаузера (1953), Уилкинсона (1958b). Из этих последовательных подходов постепенно возникла надежная автоматическая процедура для определения собственных значений и собственных векторов, и история этого алгорифма особенно поучительна для численного анализа. Ирония заключается в том, что к тому времени, когда практический процесс был полностью понят, он был вытеснен методом § 43.

Общее обсуждение методов для приведения матрицы общего вида к трехдиагональному виду было дано Бауэром (1959), и методы, описанные в этой работе, могут привести к алгорифмам, лучшим, чем тот, который мы описали.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление