Главная > Математика > Алгебраическая проблема собственныx значений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Уравнения вида (AB - lI)x = 0

33. В теоретической физике проблема, которую мы сейчас рассмотрели, часто возникает в форме

где симметричные, и одна из них (или обе) — положительно определенная. Если А — положительно определенная, то (33.1) эквивалентно

так как положительно определенная матрица имеет положительный определитель и, следовательно, неособенная. Если В — положительно определенная, то (33.1) можно записать в виде

Заметим, что матрица, обратная для положительно определенной матрицы, положительно определенная. Действительно, если

то

Следовательно, уравнение (33.1) не отличается существенно от уравнения (31.3).

Важность положительной определенности одной из матриц не должна недооцениваться. Если вещественные симметричные матрицы, но ни одна из них не положительно определенная, то собственные значения А В не обязаны быть вещественными, и это же справедливо для корней Простой пример показывает это. Пусть

Тогда

Собственные значения удовлетворяют уравнению

и они комплексны, если различных знаков.

Если ни А, ни В не положительно определенные, и комплексный корень то мы имеем

для некоторого ненулевого х. Следовательно,

Так как вещественные, уравнение (33.10) означает, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление